19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
20.（本小题满分14分）
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间
?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2).
（1）求f(?1)，f(2.5)的值；
??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性；
（2）写出f(x)在
??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
（3）求出f(x)在
21.（本小题满分14分） 已知曲线
Cn：y?nx2，点
PnPn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线
lnCn上的点（n=1,2,?）.
Qn（1）试写出曲线
Cn在点
ln处的切线
ln的方程，并求出
PnQn与y轴的交点
的坐标；
Pn（2）若原点O(0,0)到
(xn,yn)的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点
xn的坐标
Pn；（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，
与
yn是满足（2）中条件的点的
坐标，
s?证明：
n?1(m?1)xn2?(k?1)yn?ms?ks(s?1,2,…)
21
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科） 参考答案 题号 选项
1a(1,1 A
2 B
3 D
4 C
5 C
6 D
7 B
8 A
9 D
10 A
?11. 1.5 12. 13；正（或正的） 13. 2 14. 2 15.
f(0)?3sin)2
?6?32
f(x)?3sin(4x?16.解：（1）由已知可得：
?2???2 ∴??4 故a4?（2）∵f(x)的周期为2，即?f(a4?)6
?12)?3sin[4?(??12)??6]?3sin(a??2) （3）∵
?3cosa
3cosa?95即
cosa?35
∴由已知得：
324442sina??1?cosa??1?()???55故sina的值为5或5 ∴
17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；
（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。
5?27?3故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取45人.
（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a,b，若从5人中任取2名观众记作(x,y)，则包含的总的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁至40
(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)岁包含的基本事件有：
共6个.
6?35；
故P(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=1018．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心 又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴BC?EB即BD?EB
22
∵FC?平面BDE，EB?平面BDE， ∴FC?EB
又BD?平面FBD，FC?平面FBD且BD?FC?C ∴EB?平面FBD 又∵FD?平面FBD， ∴EB?FD
（2）解：设点B到平面FED的距离（即三棱锥B?FED的高）为h. ∵FC?平面BDE, ∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形 由已知可得BC?a，又FB?5a ∴FC?S?BDE?(5a)?a1222?2a2
在Rt?BDE中，BD?2a,BE?a，故
VF?BDE?13S?BDE?FC?132?2a?a?a,
?a?2a?23a3∴,
又∵EB?平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形, ∴EF?6a,DE?5a，在Rt?FCD中，FD?5a,
21∴S?FED?2a2,
1?212a?h?223∵
VF?BDE?VB?FED即3a3h?42121a，故
a,
即点B到平面FED的距离为
h?42121.
19．解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：
?12x?8y?64?3x?2y?16?0??6x?6y?42x?y?7?0?????6x?10y?54?3x?5y?27?0??x?Nx?N??y?Ny?N??x,y 满足条件?即?，
目标函数为z?2.5x?4y，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把z?2.5x?4y变形为
23
y??58x?z4，得到斜率为
?5z8，在y轴上的截距为4，随z变化的一族平行直线.
58z4y??x? 由图可知，当直线经过可行域上的点
M(即直线x?y?7?0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z最小.
?x?y?7?0?3x?5y?27?0 解方程组：?, 得点M的坐标为x?4,y?3 所以，zmin?22
答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
20．解：（1）∵f(x)?kf(x?2)，且f(x)在区间[0,2]时f(x)?x(x?2) ∴f(?1)?kf(?1?2)?kf(1)?k?1?(1?2)??k
f(x?2)?1kf(x)由f(x)?kf(x?2)得
1k?0.5?(0.5?2)??34k
f(2.5)?f(0.5?2)?1kf(0.5)?∴（2）若
x?[0,2]，则x?2?[2,4]f(x?2)?1kf(x)?1kx(x?2)?1k[(x?2)?2][(x?2)?4]
∴当x?[2,4]时，
f(x)?1k(x?2)(x?4)
若x?[?2,0)，则x?2?[0,2) ∴f(x?2)?(x?2)[(x?2)?2]?x(x?2) ∴f(x)?kf(x?2)?kx(x?2)
若
x?[?4,?2)，则x?2?[?2,0) ∴f(x?2)?k(x?2)[(x?2)?2]?k(x?2)(x?4)
2 ∴
f(x)?kf(x?2)?k(x?2)(x?4)
∵(2,3]?[2,4],[?3,?2)?[?4,?2)
24
?k2(x?2)(x?4),x?[?3,?2)?kx(x?2),x?[?2,0)?f(x)??x(x?2),x?[0,2]?1?(x?2)(x?4),x?(2,3]x?[?3,3]k?∴当时，
∵k?0,∴当x?[?3,?2)时，f(x)?k(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数；
当x?[?2,0)时，f(x)?kx(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[?2,?1)时，f(x)为增函数，当x?[?1,0)时，f(x)为减函数；
当x?[0,2]时，f(x)?x(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[0,1)时，f(x)为减函数；当x?[1,2]时，f(x)为增函数；
f(x)?1k(x?2)(x?4)2当x?(2,3]时，，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数。
（3）由（2）可知，当x?[?3,3]时，最大值和最小值必在x??3或?1,1,3处取得。（可画图分析）
2∵f(?3)??k，f(?1)??k，f(1)??1，
ymax?f(3)??1kf(3)??1k
∴当?1?k?0时，
,ymin?f(1)??1;
y?f(?1)?f(3)?1,ymin?f(?3)?f(1)??1;当k??1时，max y?f(?1)??k,ymin?f(?3)??k当k??1时，max.
2lk?y?|x?xn?2nxn?21．解：（1）y?2nx，设切线n的斜率为k，则
∴曲线又∵点∴曲线
CnPnCn在点
Pn处的切线上, ∴
ln的方程为：
2y?yn?2nxn(x?xn)
在曲线在点
Cnyn?nxnln
y?nxn?2nxn(x?xn)2Pn处的切线
2的方程为：即
2nxnx?y?nxn?022
CQy??nxn(0,?nxn)y令x?0得，∴曲线n在轴上的交点n的坐标为
（2）原点O(0,0)到直线
ln的距离与线段
PnQn的长度之比为：
25