SAR(w)?^?p^2^p|1??ake?jwk|2k?1
一．填空
1. 在随机信号处理中，当满足（ 样本数量足够大 或者 样本数量趋于无穷大 ）的条件时，时间平均和统计平均趋于一致。 2. 在信号检测常用的四种准则中，（Bayes最小风险准则 ）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（ 先验概率 ）和（ 代价函数 ）这两个应用条件。 3. Cramer-Rao不等式是用于描述估计量有效性下限的重要公式，对一个估计量进行估计
???db??1????d????2???????xE??lnf??????????）的最小方差是（?。该不等式可借用Fisher信息量加以描述，请给出Fisher
??2???2????2??????xx??E??lnfJ????Elnf??2??????????????）????信息量的数学表达式（。
????4. 一般采用（ 协方差函数 或者 自相关函数 ）和（ 偏相关函数 ）这两个统计量对
AR/MA/ARMA三种模型进行识别：如果（ 偏相关函数 ）是截尾的，则说明该时间序列适于用AR模型建模。
5. 在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（ 低 ）（高还是低？）频段频率。 二．推演题 1. 某独立观测序列
x1,x2,?,xN,其均值为m，方差为?2。现有两种估计算法：
1N1N?1??xn?2?mmxn?NN?1n?1n?1算法A：均值估计为，算法B：均值估计为
请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）
1N?1??xnmNn?1，则 答：算法A：均值估计为
1N1?1)??m?mD(m?1)?2E(mNn?1N，
^2?D(Xn)?n?1N12??1N， ?均值估计m是无偏估计
1N2?E(?)??EXn?m2??2?m2?m2??2Nn?1
1N?2?mxn?N?1n?1算法B：均值估计为，则
^N21NN???D(m)?Em?m??22??2?2)?E(mm?m2???N?1??N?1N?1n?1，
?1??D?m?2??均值估计m2是有偏估计 ?D?m
^ 所以，算法A比算法B更有效。
2. 对于平稳Poisson随机过程X(t)，已知在任一区间?中发生n个事件的概率为
Pn????P?X???s??X?s??n??????e???n!n,n?0,1,?。求?的最大似然估计?，
?并讨论该估计量的无偏性。（10分）
L(?)?答：(1) 函数
?ni?ne???ini!
dlnL(?)?ln?niln????L(?)?ni!d?
^?ni?ni?1ni??N??0
????ni?1NiN? （2）
E(?)?^?Eni?1NiN??N????N?，所以该估计量是无偏估计。
3. 设脉冲信号s(t)如下图所示，求其匹配滤波器的传输函数与输出信号。（8分）
解：先求s(t)的频谱
S?????s(t)e?j?.tdt?A?e?j?.tdt???0?TA(1?e?j?T)j?
再取观测时刻t0=T，则可得匹配滤波器的传输函数为：
H(?)?KS*(?)e?j?T0??KA(1?ej?T)e?j?T0j?
H(?)?KA(1?e?j?T)j?
因为抽样时间，为使延时最小，即T0=T 此H(w)为匹配滤波器的传输函数，其中K为常数。
匹配滤波器的冲击响应为
h(t)?Ks(T?t)?KA,0?t?Th(t)???0,??else
匹配滤波器的输出信号为：
s0?t???s(?)h(t??)d?????tAKAd?,o?t?T??0?T???AKAd?,T?t?2Tt?T?0,t?0,t?2T???KA2t,,o?t?T???KA2(2T?t),T?t?2T?0,t?0,t?2T?
三．问答题（共50分）
1. 现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题：
（1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。 答：若独立同分布的随机变量序列
?Xn,n?1,2,??为一个随机过程，m?E?Xn?，
其均值为
2??D?Xn?,?n?1,2,??，则由大数定律可知
方差为
?1N?limP??Xk?m????1N???Nk?1?
大数定律表明，随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性叫做各态历经性。
（2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。
答：设?X?t?,???t???为实值平稳过程，若它的均值为零，
在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；
在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。
（3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。
答：白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。
其应用举例可从广义匹配滤波器 或者 ARMA模型出发来举。
（4）滤波器设计中的恒Q特性是什么？在信号处理分析中有什么特点？
Q?答：Q 值（品质因数）定义：
???0＝带宽/中心频率
在小波变换中，小波基函数ψ(t) 的 Q 值：
Q???/?0；ψ(t/a) 的 Q 值保持不变：
??/a???/?0?Q?0/a
不论 a 为何值 (a>0)， ψ(t/a) 始终和ψ(t) 具有相同的品质因数 Q。
由于恒 Q 性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。
（5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的DFT变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法的优劣。
答：只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、Gabor变换、小波变换等。 2. 与传统的数字信号处理相比，现代信号处理另一个最大的区别在于更多的关注信号之间的关系，如相关函数、功率谱密度函数、信噪比等，请回答下述问题：
（1）信噪比是衡量信号与噪声之间的能量差异的相对值，在通信系统、信号处理中被广泛使用，请给出至少两个实例，并加以分析讨论。
SNR信噪比 或 PSNR峰值信噪比均可，但需要说明信号与噪声能量的定义，并举出相应的实例。 （2）Wiener滤波器是现代信号滤波处理的经典，其核心在于考察滤波器输入输出信号之间的关系，请用恰当的数学模型对其加以描述。
滤波器的理想输出为s(t+a) 估计误差为e(t)=s(t+a)-y(t)
222e(t)?s(t??)?2s(t??)y(t)?y(t) 估计误差的平方为：
??而
代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：
2E??e?????????h(u)h(v)Rx(v?u)dudv?2???h(u)Rs,x(??u)du?Rs(0)
???y(t)??h(u)x(t?u)du?其中，Rs s(t)的自相关函数，Rx x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x s(t)和x(t)之间的互相关函数
若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有：
?Rx?Rs?Rn?2?Ee(t)?R?Rs,xs?最小。 ? 维纳滤波就是希望求出最优h(u)，使得?（3）自适应滤波器是利用误差信号调整滤波器的传输函数，从而达到系统最优。请从现代
信号处理的角度出发阐述自适应滤波器系统最优的含义，并举例说明。
答：从信号处理角度，自适应滤波器系统最优的含义是误差信号最小，系统的输出信号与指导信号之间的“距离”最小。举例可举信道均衡/估计，系统辨识等。
（4）功率谱密度是对时域自相关函数进行傅立叶变换得到的结果。请阐述在工程中对功率谱密度进行测量有何应用？ 答：（a），有些信号处理系统，需要预先知道信号的功率谱密度（或者自相关函数）。如：维纳滤波器、MMSE算法。
（b），若知道功率谱密度，可估计出线性系统的参数。用白噪声激励，通过功率谱估计FR。
2Pyy(?)???H(?)2
（c），利用功率谱密度，可从宽带信号中检测出窄带信号。（宽带噪声下的窄带通信系统） 1、证明：若相关矩阵的特征值λ1，λ2，?λ3各不相同，则特征向量q1,q2?q3相互正交。 证明:设qi 和qj 分别为相关矩阵R的特征值λi 和λj 对应的特征向量（λi≠λj），则有 Rqi = λiqi
两边左乘qjH ， 有 qjHRqi = λiqjHqi
又因为Rqj = λiqj ，利用R的Hermite对称性，其共轭转置为 qjHR = λjqjH 两边右乘qi ，得 qjHRqi = λiqjHqi 所以有 （λi-λj）qjHqi = 0
由于λi≠λj ，故有 qjHqi = 0 i ≠ j
即当i≠ j时，特征向量q和q相互正交。
2、简述最小二乘估计和维纳滤波的区别，以及何时二者具有一致性，加以证明。
解答： 维纳滤波是建立在最小均方误差的准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需要满足的维纳-霍夫方程。此准则需要输入信号的统计特性来寻找最优滤波。最小二乘估计是根据有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小二乘估计使用确定思想，而维纳滤波使用统计思想。 对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。
证明过程：维纳-霍夫方程为：
RW0?P
其中，R和P分别是输入向量的自相关矩阵和互相关向量。分别为：
H*R?E{u(n)u(n)}P?E{u(n)d(n)}
?在最小二乘估计中的确定性正则方程为：AAW?Ab
HH上式两边同时除以时间区间长度 N-M-1，则：
(11??AHA)WAHbN?M?1N?M?1
在有限个观测样本时的时间平均估计值可表示为：
N11H??RAA?u(n)uH(n)?N?M?1N?M?1n?M
??PN11HAb?u(n)d*(n)?N?M?1N?M?1n?M
因为u（n）是各态历经的平稳过程，且，当观测数样本数趋于无穷大时有：
N?M?1??
也即，当观测样本数趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳-霍夫方程。也就是说，最小二乘方法逼近维纳滤波。此时，二者具有一致性。
3、已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及数学期望响应信号d(n)的互相关向量分别为
N?M?1??lim??RR??PlimP