??1?2?2?????22??jw1???2?cos??1??e???
20、一零均值MA(2)过程满足下面的方程：
b02?b12?b22?3 b0b1?b1b?22 b0b2?1
试求MA参数
b0,b1和b2。
b02?b12???bq2?R(0)
解：由于对于零均值MA(q)过程而言
b0b1?bb12???bq?1bq?R(1)bb?R(q) ? 0q
故由题意知，MA(2)过程的自相关函数为
R(0)?3,R(1)?R(?1)?2,R(2)?R(?2)?1,R(k)?0,?k?2
P(z)?因此不难求得MA(2)过程的功率谱
k??2?R(k)z2?k?z2?2z?3?2z?1?z?2
?1?22P(z)?(1?z?z)(1?z?z) 其因式分解为
?1?1?2P(z)?B(z)B(z)B(z)?1?z?z将这一结果与比较可知
即
b0?1,b1?1,b2?1
21、简述最小二乘法估计和维纳滤波的区别，并说明何时二者具有一致性。
维纳滤波是建立在最小均方误差准则之上的，滤波器权向量所满足的条件为维纳-霍夫方程。最小二乘是在最小二乘意义下的，应满足确定性正则方程。 1.二者的代价函数不同：
在维纳滤波中，代价函数是均方误差信号
J(w)?E{e(n)}2
误差信号e(n)是一个随机过程，而代价函数则是误差信号的平均功率。
在最小二乘估计中，代价函数定义为误差信号有限个样本的模的平方和，即
J(w)?n?M?e(n)N2
将代价函数除以时间区间长度N-M+1，并不会影响滤波器权向量的求解。于是得到新的代
N12J(w)?e(n)?N?M?1n?M价函数（误差信号样本数据的平均功率）
~ 如果e(n)是各态历经的的平稳随机过程，二者的代价函数相同。 2.维纳-霍夫方程与确定性正则方程 维纳-霍夫方程
Rw0?p
H最小二乘估计中的确定性正则方程为 AAw?Ab
H?两边除以时间区间长度N-M+1，则有
?11H(AA)w?AHbN?M?1N?M?1，
在有限个观测样本时的时间评均估计值可表示为
N11HR?AA?u(n)uH(n)?N?M?1N?M?1n?M ?N11Hp?Ab?u(n)d*(n)?N?M?1N?M?1n?M和
?如果随机过程u(n)是各态历经的平稳随机过程，那么，当观测样本数趋于无穷大时，有
也即当观测根本趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳-霍夫方程，或者最小二乘方法逼近维纳滤波。
因此，可以认为，最小二乘方法是维纳滤波在有限个观测值时的时间平均近似；或者，当观测样本数趋于无穷大时，最小二乘方法将逼近维纳滤波。
22、简要说明功率谱密度的4个性质并选择证明其中的两个。 答案：功率谱密度4个性质如下：
1、功率谱密度S(w)是以2?为周期的周期函数，S(w)= S(w+2k?)，k是任意整数。 2、离散时间随机过程的功率谱密度是实函数。 证明：
N?M?1??N?M?1??limR?R,lim?p?p?S?w??m????r?m?e?1m??????jmwS?w??r?0???r?m?e??jmw??r?m?e?jmwm?1?将第二项中的m换成-m，并利用r??m??r??m?,得?jmw?jmw?S?w??r?0????rme?rme??????m?1?jmw?S?w??r?0??2?Re?rme????m?1?所以S?w?是w的实函数。
3、对于实随机过程，r(m)是实对称序列，功率谱密度函数满足对称性，即S(w)= S(-w)。
4、离散时间随机过程的功率谱密度是非负的，即S(w)>=0。 证明：
将u?n?通过冲激响应h?n?的LTI离散时间系统，设，|w?w0|??wH?w???10，|w?w0|??w输出随机过程y?n?的功率谱为Sy?w??|H?w?|2S?w?则平均功率为12?1ry?0??Swdw???y2??02?当频率宽度?w?0时，1ry?0??S?w0???w???0w0??w?w0??wS?w?dw?由于频率w0是任意的，所以S?w???0。23、一随机信号的功率谱密度为
1.4?0.4cwosS?w??1.2?5cwos
把此功率谱看作是被均值为零,方差为1的高斯白噪声所激励的线性因果,最小相位系统的输出的功率谱,求该线性系统
解:由题意,把已知的功率谱分解为
H?z?H?z?.
e?S?w??e?
jwjw?0.2??e?jw?0.2??0.5??e?jw?0.5?
?1z?0.2z????0.2?jwz?e令,则有
S?z???z?0.5??z?1?0.5?z?ejw
将关于z的多项式分解为以下四种形式:
?1z?0.2z?0.2z?1?0.2z?0.2H2?z???1H1?z??H3?z??H4?z???1z?0.5z?0.5z?0.5z?0.5
在这四种线性系统中,只有线性系统
H1?z?的零、极点全在单位元内,是一个因果、最小相位
系统.
24、简述经典功率谱估计方法并简单比较其性能。 答：经典功率谱估计式给予传统傅里叶变换思想的估计方法，其中的典型代表有自相关谱估计法（BT法）和周期图法。
u(n)直接进行傅里叶变换
周期图法：对随机过程u(n)的N个观测值NUN(?)??uN(n)e?j?nn?0N?1
根据傅里叶变换的帕斯瓦尔关系，上式的模的平方是确定信号以持续时间N，其结果应是
uN(n)的能量谱，对能量谱除
uN(n)的功率谱估计，将其作为随机信号u(n)的功率谱的估计，
SPER(?)?表示为
^12UN(?)N
BT法：用时间平均估计u(n)的自相关函数r(m)
1N?1r(m)??uN(n)u*N(n?m),m?N?1Nn?0
^根据维纳-辛钦定理，对由上式估计得到的自相关函数r(m)求傅里叶变换，可得功率谱的估
^SBT(?)?计为
^m????r(m)e^?^?j?m?m??N?1?N?1r(m)e?j?m
^考虑到自相关函数r(m)在
m?N?1时为零，且在m接近N?1时性能较差，上式经常表
SBT(?)?示为
^m??M?r(m)eM^?j?m,0?M?N?1
以此结果作为对理论功率谱的估计，因为这种估计方法估计出的的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以此方法又称为间接法。
当M?N?1时，周期图法和BT法是相同的，而当M??N?1时，BT法是对周期图法的平滑。
25、经典功率谱估计的方法：（ BT法 ）和（ 周期图法 ）。 26、设u(n)是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱 S（?)≥0
证明：将u(n)通过冲击响应为h(n)的LTI离散时间系统，设其频率响应H（?）为 1, | ?-?0 |< ?? H（?）=
0, | ?-?0 | > ??
输出随机过程y(n）的功率谱为Sy(?)= | H(?)|2 S（?）
1r(0)2?输出随机过程y(n) 的平均功率为y=
?2?01Sy(?)d(?)2?= 1S(?0)(??)???0???0???S（?）d(?)
当频率宽度???0时，上式可表示为
ry(0)??
由于频率?0是任意的，所以有 S（?）≥0
27、试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为
?K0e?jwt???HH(?)??其他 ?0解 由上式得
2H(?)?K0,???H2 。输出功率谱密度为
nP0(?H(?)2Pi(?)?K02?,???H2
可见， 输出噪声的功率谱密度在
???H 内是均匀的， 在此范围外则为零，如图所
示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为
1?
R0(?)?P0(w)ejwrdw 2???
fHn
?K020ej2?f?df?fH 2
sinwH??k02n0fH
qH?Po(?)Ro(??)
2n02 K0n0 fHK02
11￡2fH2fH
￡fHOfHfO
图 带限白噪声的功率谱和自相关函数
???带限白噪声的自相关函数
R0(?)在??0处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:
2R(0)?k0n0fH 028、
题目：?1x是一正态或高斯随机变量，其概率密度函数为：f(x)?e?2??和?2分别是x的均值和方差。(x??)22?2