?rx(0)rx*(1)?rx(0)?rx(1)?????r(p?1)rx(p?2)即：?x最小均方误差表达式是：
?rx*(p?1)??ap(1)??rx(N?1)?????r(N?2)??rx*(p?2)??ap(2)?????x??????????????a(p)r(N?p)?rx(0)????x? ???p???pmin*p???????E?e(n)?x(n)??ap(l)x(n?l?N)??l?1????????p??*???E?e(n)x(n)?Ee(n)a(l)x(n?l?N)?Ee(n)x(n)????p???????l?1???*p?????E??x(n)??ap(l)x(n?l?N)?x*(n)?l?1???????*??E?x(n)x(n)?a(l)Ex(n?l?N)x(n)??p????l?1?n?0?*p?rx(0)??ap(l)rx*(l?N)l?1p
39、已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及与期望响应信号d(n)的互相关向量分别为
?21?R???T2?12?，p?[54]且已知期望响应d(n)的平均功率为E{d(n)}?30。
（1） 计算维纳滤波器的权向量。
（2） 计算误差性能面的表达式和最小均方误差。
1?2?1??5??2?w0?R?1p?????????1243?????1? 解：
J(w)??d2?pHw?wHp?wHRwJmin??d2?pHw0?30?[5
?2?4]???1??16
40、离散时间的二阶AR过程由差分方程
x(n)?a1x(n?1)?a2x(n?2)?w(n)
2?描述，式中w(n)是一零均值、方差为w的白噪声。证明x(n)的功率谱为
Px(f)?解：
?w21?a12?a22?2a1(1?a2)cos(2?f)?2a2cos(4?f)
Px(f)?由AR过程的功率谱公式知式中
2?w21?a1e?j2?f?a2e?j4?f2（式1）
1?a1e?j2?f?a2e?j4?f
?j2?f?j4?f?j2?f?j4?f(1?ae?ae)(1?ae?ae) 1212=
22?j4?fj4?fj2?f?j2?f?j2?fj2?f1?a?a?a(e?e)?aae?aae?a(e?e) 12212121=
221?a?a?2a1(1?a2)cos(2?f)?2a2cos(4?f)（式2） 12 =
将（式2）代入（式1）中可得：
Px(f)??w21?a12?a22?2a1(1?a2)cos(2?f)?2a2cos(4?f)
证毕。
41、举例说明卡尔曼滤波在信号处理中的应用 答：1.卡尔曼滤波在维纳滤波中的应用。 2．卡尔曼滤波在雷达目标跟踪中的应用。 3．卡尔曼滤波在交互多模型算法中的应用。 4．卡尔曼滤波在数据融合中的应用。 42、某独立观测序列
x1,x2,?,xN,其均值为m，方差为?2。现有两种估计算法：
1N1N?1??xn?2?mmxn?Nn?1，算法B：均值估计为N?1n?1 算法A：均值估计为
请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）
答：
1N?1??xnmNn?1，则 算法A：均值估计为
1N1?1)??m?mD(m?1)?2E(mNn?1N，
^2?D(Xn)?n?1N12??1N， ?均值估计m是无偏估计
1N2?E(?)??EXn?m2??2?m2?m2??2Nn?1
1N?2?mxn?N?1n?1，则 算法B：均值估计为
^N21NN???D(m)?Em?m??22??2?2)?E(mm?m2???N?1??N?1N?1n?1，
?1??D?m?2??均值估计m2是有偏估计 ?D?m
所以，算法A比算法B更有效。
^??f(n)?cos(?0n)的希尔伯特变换f(n)，
43、求信号并验证解析信号z(n)?f(n)?jf(n)是
单边频谱。
?1?(?1)n1?1?(?1)kf(n)?f(n)*??cos(?0(n?k))n??k???k解：
解析信号频谱
?Z(?)?F(?)?jF(?)?F(?)?jF(?)H(?)
= F(?)?jF(?)(?j)sgn(?)?F(?)?F(?)sgn(?)?2F(?) 其中0???? 显然，解析信号是单边频谱
44、考虑有如下差分方程描述的二阶AR（2）过程u（n）： u（n）=u（n-1）-0.5u（n-2）+v（n）
其中，v(n)是零均值、方差为0.5的白噪声。 （1）写出该随机过程的Yule-Walker方程。（2）求u（n）的方差。 （3）u（n）的功率谱 解：（1） 改写方程格式为：u（n）-u（n-1）+0.5u（n-2）=v（n）
?ru(0)ru(1)???1???ru(1)??r(1)r(0)??0.5????r(2)?u????u? Yule-Walker方程为：?u2?v1?0.5??r（0）=（）u221?0.5（1+0.5）???（-1）??2u（2）=1.2
SAR(?)?（3）
?u21??ake?j?kk?1p2
1.2=
1?e?j??0.5e?j?24.822
?j?2?(e?1)?1?? =?45、设随机序列?X(n),n?0,?1,?2,??，其中X(n)是两两互不相关的随机变量且 E(X(n))?0 D(X(n))??2，序列{X(n)}被称作白噪声。验证白噪声序列是平稳序列。解：显然均值函数为常数，当m?0时，因为X(n)不相关，所以
RX(n,n?m)?E(X(n)X(n?m))?E(X(n))E(X(n?m))?0 当m?0RX(n,n)?E(X(n)X(n))?D(X(n))?[E(X(n))]2??2 所以，RX(n,n?m)只是时间差m的函数，序列是平稳的
46、若序列x(n)为实因果序列，h(0)=1，其傅氏变换的虚部为H1(ejω)=—sinω，求序列h(n)及其傅氏变换H(ejω)。
?1h?2jjωjω-jω
解：因为H1(e)=—sinω=—( e—e)=n???0(n) e-jω
h0(n)=
??1/2??0?1/2?n??1n?011n?1 =-2δ(n+1)+2δ(n-1), n?1n?0n?1?1??1?0?n?0n?1其他n?0??h(n)?2h(n)h(n)= ?0 =
所以 h(n)=δ(n)+δ(n-1); H(ejω)=1+ e-jω
s(n)?sin47、在测试正弦信号
?n4的过程中叠加有白噪声v(n),即测试结果为
s(n)?sin?
?n?v(n)4设计一个长为N=4的有限冲激相应滤波器，对x(n)进行滤波后得到
s(n)，它与s(n)的误差的均方值最小。求该滤波器的冲激相应。
s(n)?sin解：已知
?n42?v，v(n)是方差为的白噪声，x(n)=s(n)+v(n)
设h(n)=[h(0),h(1),h(2),h(3)],x(n)=[x(n),x(n-1),x(n-2),x(n-3)]
R?E[x(n)xT(n)]?E[s(n)sT(n)]?E[v(n)vT(n)]?E[s(n)sT(n)]??v2 P?E[s(n)sT(n)]?E[s(n)s(n),s(n)s(n?1),s(n)s(n?2),s(n)s(n?3)]T
h(n)?R?1P?1(n?1)?n?1n?(n?3)?n?2n?[sin(),sinsin,?sin,sinsin]2??v24442244
h(n)?取n=3,则
1111[,,,0]2??v2222
48、已知输入信号向量的相关矩阵u(n)及期望响应信号d(n)的互相关向量分别为
?21?R(n)????12?p??54?且已知期望响应的平均功率为
E?d2(n)??30
(1) 计算维纳滤波器的权向量.
(2) 计算误差性能面的表达式和最小均方误差. 解:维纳滤波器的权向量满足维纳-霍夫方程 因此
wo?R?1p??21?T
误差性能面的表达式为:
J(w)??d2?pHw?wHp?wHRw
Jmin?J(wo)??d2?pHwo?woHp?woHRwo??d2?pHwo?5?Jmin??d2?pHwo?30????21??30?14?16?4?因此
49、简述AR模型功率谱估计的方法
?u(m),m?0,1,2,?,p，即 答：（1）根据N点的观测数据uN(n)估计自相关函数，得r1N?1?ru(m)??uN(n)u*(n?m) NNi?0?(m)，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如（2）用p?1个自相关函数的估计值ruLevinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程
ru(?1)?ru(0)?ru(0)?ru(?1)?????ru(?p)ru(?p?1)ru(?p)??1???2???????ru(?p?1)??a1??0??? ?????????????0????a?ru(0)???p????2?p。 ?1,a?2,?,a?p和? 得到p阶AR模型的参数估计值a?(w)，即 （3）将上述参数带入AR（p）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式SAR?AR(w)?S?2?p?ke?jwk|2|1??ak?1p
50、简述LMS算法
?(0)?0 估计误差：e(0)?d(0)?d?(0)?d(0) 答：（1）初始化，n?0 权向量：w
输入向量：u(0)??u(0)u(?1)?u(?M?1)???u(0)0?0?
T?(n?1)?w?(n)??u(n)e*(n) （2）对n?0,1,? 权向量的更新：w?(n?1)?w?(n?1)u(n?1) 期望信号的估计：dH