首先，概率密度函数f(x)是一关于x??对称的函数，表明，E(x)??,即?确实是正态随机变量x的均值，由于任一个概率密度函数的面积都等于1，即?求上式两边关于?的导数，得：????(x??)22?2f(x)dx?1,故?e????dx??2??(x??)2???3e?(x??)22?2dx?2? 由方差的定义易知：E{(x??)2}def?(x??)2f(x)dx??(x??)2??????1e?2??(x??)22?2dx将上式代入下式得：E（{x??)2}??2因此，随机变量x的均值为?，方差是?2。29、设uN(0), uN(1),?,uN(N-1)为广义平稳随机过程u(n)的N个观测值，且设uN(n)其他时刻
?u?n?,0?n?N?1uN?n???0,其他?的值为零，则uN(n)可表示为
对u(n)的自相关函数r(m)有两种估计算法：
1N?1??m???uN?n?u*r，m?N?1N?n?m?Nn?0算法A：
算法B：
1??m??rN?mm?N?1?u?n?u?n?m?，N*Nn?0N?1
请对这两种估计算法的估计性能进行讨论。
答：算法A：当时延m?0时，r?m?均值估计可以表示为
??1N?1???m???E??uN?n?u*??E?rn?m?NN?n?0?1N?1N?m??r?m??r?m?N Nn?m
??m???Er??m?E?r??m???var?r? r?m?的方差为
?2??E?r??m???E?r??m??
22N?1?m?m?l?21?var?r?m????1??r?l??r?l?m?r?l?m??NNl???N?1?m????最后可得r?m?的方差为
??对于固定时延
m，r?m?是有偏估计，但当N→∞时，r?m?是对r?m?的渐近无偏估计；对
??于固定的N，当
m越接近于N时，估计的偏差越大。由于自相关函数r?m?是有限的，显然
当N→∞时，r?m?的方差将趋近于零。所以，对于固定的延时
?m，r?m?是r?m?的渐近一
?致估计。
算法B：其均值为E?r?m???r?m?
?若信号u?n?是零均值的实高斯随机信号，则r?m?的方差为
?1??m???var?rN-m?l?2?1??r?l??r?l?m?r?l?m??N?ml???N?1?m?????
N?1?m??由此，可以看出，算法B给出的自相关函数的估计r?m?为无偏估计，当
?m接近于N时，
由算法B给出的估计方差很大，但当N＞＞
m时，r?m?是r(m)的渐近一致估计。
?30、白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐
述。
答：设?X?t?,??＜t＜??为实值平稳过程，若它的均值为零，
在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；
在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。 31、若已知DFT[x(n)]=X(k)，求
解：
32、已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试用卷积法求网络输出y(n); 解：用卷积法求y(n)
y(n)?h(n)?x(n)?nnm????bn?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
y(n)??am?0n?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1，n?0，y(n)?0 b?a?ab?a??11?aba?bm?0n?mman?1?bn?1u(n) 最后得到y(n)?a?b33、 一个差分滤波器的输出为：y(n)=x(n)+x(n-1), n=1,2??
令x(n)的功率谱为1/(1+f2)，试求差分滤波器输出y(n)的功率谱密度。 解：由题意知，系统的传递函数H(z)=1+z-1,故
H(f)=H(z)|z?ej2?f?1?e?j2?fPy(f)?|H(f)|*Px(f)?|1?e2?j2?f1 |1?f22所以系统输出y(t)的功率谱密度为：
Py(f)?|H2(f)|*Px(f)?|1?e?j2?f|21
1?f234、设系统输入随机过程X(t),t?[0,?),输入Y(t)，t?[0,?)，它们之间有下列关系：
Y(t)??X(u)du??X(u?T)du????tt，其中T为常数，
试求：当输入功率谱密度为解：（1）求传递函数H(f)
SX(f)?q的白噪声时，求输出Y(t)的平均功率。
当输入函数为冲击函数时，即X(t)??(t)，输出函数为冲击响应
H(t)?Y(t)???(u)du???(u?T)du?u(t)?u(t?T)????tt
对上式做傅里叶变换得 H(f)?TSa(?Tf)exp(j?Tf)
H(f)?TSa(?Tf)exp(j?Tf)?TSa(?Tf)
（2）求输出功率谱
输出功率谱密度 输出功率谱
SY(f)?H(f)SX(f)?qT2Sa(?Tf)22
PY??SY(f)df?2?SY(f)df?2qT??0??2??Sa(?Tf)?df???T??02?22qT2?0sin2(?Tf)2q?df??T?qTf2?22
35、一零均值MA(2)满足如下正则方程：
22b0?b12?b2?3 b0b1?b1b?22 b0b2?1
试求MA参数解：由
b0 b1 和 b2 。
q?m?2q?2????bkbk?m???bkbk?mR?m???k?mk?0?0?m?0,1,...,qm?q其中?=1。
2得出MA(2)的自相关函数为R(0)=3，R(1)=R(-1)=2，R(2)=R(-2)=1，R(k)=0，|k|>2。 由此不难求出MA(2)过程的功率谱
P(z)?
k??2?k2?1?2R(k)z?z?2z?3?2z?z?2
?1?22P(z)?(1?z?z)(1?z?z)
其因式分解为
?1?2?1B(z)?1?z?zP(z)?B(z)B(z)将这一结果和比较，立即知
即
b0=1，b1=1，b2=1 。
b0=1，b1=1，b2=1 。
所以MA(2)过程的MA参数为
36、维纳滤波的设计思想是什么？它与最小二乘估计有什么区别，并间述两者何时具有一
致性。
答：维纳滤波的思想是，假定横向滤波器的输入和期望响应均为广义平稳随机过程，且已知其二阶统计特性，根据最小均方误差准则，求得最优滤波器的参数。维纳滤波器是建立在最小均方误差准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需满足的维纳霍夫方程。这个准则需要输入信号的统计特性来寻求最优滤波。但在实际工程中，通常只能获得有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小二乘估计就是讨论怎样根据有限个的观测数据来寻找滤波器的最优解。最小二乘估计使用确定性思想，而维纳滤波使用统计思想。
对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。
37、已知r(0)=1,r(1)=0.5, r(2)=0.5, r(3)=0.25,试用Schur递归的简化算法求?1，?2。 解：
00.50.50.25G 首先构造矩阵0=（10.50.50.25）
第二行右移一位的：
00.50.50.25G0.5） 0=（010.5得：?1=-0.5。 根据
G0构造矩阵：
1?0.500.50.50.25000.250G1=（?0.51）0.5）=（00.750.250.375） （010.5第二行右移一位的：
000.250 G1=（000.750.25）
~得： ?2=-1/3。
38、设对信号x(n)进行预测建模时是用一种特殊的预测模型：
?(n)???ap(k)x(n?N?k)xk?1p，为确定系数
ap(k)p，试推导出使均方预测误差
?p?E{e(n)}2最小的正则方程，其中
e(n)?x(n)??ap(l)x(n?l?N)l?1，并给出最小均
方预测误差的表达式。
??e*(n)?*?Ee(n)??Ee(n)x(n?k?N)??0?0??*??*?ap(k)??a(k)??解：取p，即?
??p代入
e(n)?x(n)??ap(l)x(n?l?N)l?1p，得到
p????E??x(n)??ap(l)x(n?l?N)?x*(n?k?N)??0l?1????
则：
?al?1pp**??(l)E?x(n?l?N)x(n?k?N)??Ex(n)x(n?k?N)?????,k?1,?,p????
所以正则方程为：
?al?1pp(l)rx(k?l)??rx(k?N),k?1,?,p