9．证明：两个最小相位序列的卷积仍然是最小相位序列
解：设x(n),y(n)为最小相位序列，则其Z变换X（z）,Y(z)对应的所有的零点
ii Zx ，Zy都在单位圆内，其中i?1，2，??N，k?1，2，??M。 令z（n）?x（n）*y（n），有Z（z）?X（z）Y（z），其零点的集合
ik2，??，N?Zyk?1，2，??，M?Zzn必有Zzn?1成立. Zz?Zxi?1，??????10．用观测数据（y(n),y(n-1)）自适应估计随机变量x(n).已知Ryy=[1 0.4;0.4 1],为保证收敛，
μ的值应限制在什么范围？若Ryy=[1 0.8;0.8 1],则自适应滤波器的收敛速度将会更快还是更慢？ 解：
(1)为保证收敛应使?满足0???tr[R]?1tr[R]???k?2?1k?01
即0???12(2)几何比(rmse)?rk2?(1?2??k)2由于两Ryy的?值相同，故自适应滤波器的收敛速度相同。11、已知u(n)满足AR(2)模型，即满足如下差分方程：
u(n)?a1u(n?1)?a2u(n?2)?v(n)
2其中v(n)是均值为零、方差为?v的白噪声。试用自相关函数来表示系数a1、a2。
答案：AR模型的正则方程式可以表示为ru(0)?a1ru(?1)???apru(?p)??v 和
2ru(?1)?ru(0)?r(1)ru(0)?u?????ru(p?1)ru(p?2)将p?2带入上面两式为：
?ru(?p?1)??a1???ru(1)??a????ru(?p?2)??r(2)2u????????????? ???????a?ru(0)???p????ru(p)?ru(0)?a1ru(?1)?a2ru(?2)??v2
和
?ru(0)ru(?1)??a1???ru(1)??r(1)r(0)??a????r(2)?
u?u??2??u?可以解得
a1??ru(1)?ru(0)?ru(2)? 22ru(0)?ru(1)ru(0)ru(2)?ru2(1) a2??22ru(0)?ru(1)12、对平稳随机信号，其自相关函数为Rx(?)，自协方差函数为
Cx(?)，
R(?)=Dx ，Cx(?)＝?x。
（1）当??0时，有：xR(?)=mx ，Cx(?)＝0。
（2）当???时，有：x13、1. 现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题：
（1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。 答：若独立同分布的随机变量序列
22?Xn,n?1,2,??为一个随机过程，其均值为m?E?Xn?，
2??D?Xn?,?n?1,2,??，则由大数定律可知
方差为
?1N?limP??Xk?m????1N???Nk?1?
大数定律表明，随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性叫做各态历经性。
（2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。
答：设?X?t?,???t???为实值平稳过程，若它的均值为零，
在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；
在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。
（3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。
答：白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。
其应用举例可从广义匹配滤波器 或者 ARMA模型出发来举。
（4）滤波器设计中的恒Q特性是什么？在信号处理分析中有什么特点？ 答：
Q?Q 值（品质因数）定义：
???0＝带宽/中心频率
在小波变换中，小波基函数ψ(t) 的 Q 值：
Q???/?0；ψ(t/a) 的 Q 值保持不变：
??/a???/?0?Q?0/a
不论 a 为何值 (a>0)， ψ(t/a) 始终和ψ(t) 具有相同的品质因数 Q。
由于恒 Q 性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。
（5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的DFT变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法的优劣。
答：只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、Gabor变换、小波变换等。 14、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR谱估计的基本原理是： p阶的AR模型表示为：x(n)??
其自相关函数满足以下YW方程：
取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：
??x(n?i)?u(n)
ii?1pRx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p?????(m)，再利用以在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx上矩阵方程，直接求出参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。 （2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：
1）AR谱比经典谱平滑。
由于AR谱估计是一个有理分式，因此其估计出的谱要比经典的平滑。
2）AR谱的分辨率。经典的分辨率为2?k/N，2?对应于采样频率，N为数据长度，AR谱的分辨率比经典谱要高。
3）AR谱匹配性质。随着阶数的增加，AR谱与真实谱就越接近。
4）AR谱的方差。理论分析很困难，相对的讲，其方差反比于N和信噪比。 5）AR模的稳定性
可以证明，如果自相关矩阵是正定的，则有Yule-Walker方程求出的AR模型是稳定的。 6）AR谱估计的不足
与信号的信噪比关系较大，信噪比低，则方差大，分辨率低。 如果信号x（n）是含噪声的正弦信号，其谱峰易受x（n）初相位的影响，并且可能出现“谱
2
线分裂”的现象。
谱的质量受p的影响大，p取值小，则过于平滑，精度不够，p太大，则可能会产生虚假的谱峰。
15、令未知的随机变量服从均匀分布，其概率分布为
在无其他信息的情况下，用以常数做随即变量x的线性均方估计，求该均方估计。 解：有题可知，随机变量x线性均方估计等于其均值，故
???x?E?x???xf?x?dx???x?1f?x??{1,00,其他
?=
1?1xdx =1/2
所以x的线性均方估计为1/2。
16、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
Sx(?)??Rx(?)e?j??d??F(Rx(?))
???1?Sx(?)ej??d? ?2???(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： Rx(?)? 离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：Sx(e)?j?m????R(m)ex??j?m
1Rx(m)?2???S??x(ej?)ej?md?
17、一随机信号的功率谱密度为
1.25?cos?Ｐ（ω）＝1.0625?0.5cos?
若将这一功率谱看作是被具有单位功率谱的白噪声所激励的线性因果、最小相位系统Ｈ（ｚ）的输出的功率谱，求该线性系统Ｈ（ｚ）． 答：首先，已知的功率谱可以改写为
(ej??0.5)(e?j??0.5)j??j?(e?0.25)(e?0.25) Ｐ（ω）＝
ｚ＝ej?，则
(z?0.5)(z?1?0.5)?1Ｐ（ω）＝(z?0.25)(z?0.25)
式右的ｚ多项式可以分解为以下四种形式：
z?0.5z?0.5z?1?0.5z?1?0.5H1(z)?H2(z)??1H4(z)??1H3(z)?z?0.25z?0.25z?0.25 z?0.25
在这四种线性系统中，只有线性系统
H1(z)的零、极点全部在单位圆内，是一个因果、最小
H(z)?z?0.5z?0.25
相位系统。所以线性因果、最小相位系统Ｈ（ｚ）为
18、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？
答案：(1)具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。
(2)对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。 19、令???t??和???t??是满足下列差分方程的随机过程：
??t??~?0,?2 y?t???y?t?1??x?t??u?t?，?u?t??~?0,?2 ??t?????t?1????t?，?式中
??????1，且???t??和???t??互不相关，求???t??的功率谱。
解：计算???t??的功率谱：
?x?w???21??z?12z?
e
jw取y?t?的延迟形式： y?t?????y?t?1????x?t????u?t???
?y?t???y?t?1????????t????u?t??? 于是有：?????t??u?t??????t????u?t???? =??由于w?t?和u?t?不相关，所以??t?和u?t?也互不相关，展开上式得：
??y?t?y?t????????y?t?1?y?t????????y?t?y?t???1?? ????y?t?1?y?t???1???????t???t???????u?t?u?t????
2?1???R??????R???1??R???1???R?????????
即：
22yyyx上式两边同乘e?jw?d?后，再积分，则有：
?jw?1??????????e
2y?ejw?y?????x?????2?
从而有：
?y????1?x?????221???2?cos?
??