?(n?1) 估计误差：e(n?1)?d(n?1)?d （3）令n?n+1，转到（2）
51、设u(n)是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱密度S(w)?0
证明:将u(n)通过冲击响应为h(n)的LTI的离散时间系统，设其频率响应为H(w)为
?1,|w?w0|??w H(w)???0,|w?w0|??w输出随机过程y(n)的功率谱为Sy(w)?S(w)|H(w)|2
12?1S(w)dw?输出随机过程y(n)的平均功率为ry(0)?y2??02?1当频率?w?0时，上式可表示为ry(0)?S(w0)(?w)?0
?w0??ww0??wS(w)dw
?由于频率w0是任意的，所以有S(w)?0
52、自适应滤波器的性能：
（1）失调量（2）计算复杂性（3）对时变统计量的跟踪能力（4）结构上：高模块性、并行性等（是否适合硬件实现）（5）收敛速度（6）数值特性：数值稳定性（对字长效应不敏感），数值精确性（7）鲁棒性：对噪声干扰不敏感，小能量干扰只能造成小估计误差 53、 LMS自适应横向滤波器的基本原理：
（1）自适应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)受误差信号e(n)控制
（2）根据e(n)的值而自动调节，使之适合下一时刻(n+1)的输入x(n+1)，以使输出y(n+1)更接近于期望的响应d(n+1)，直至均方误差E[|e(n)|]达到最小值
（3）y(n)最佳地逼近d(n)，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。
54、设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？
2101*4?mse 得：?mse=25
解： 0.1=
按经验实际迭代次数应取100（=10*滤波器长度N）或取4
?mse。
55、（1）什么是平稳随机信号？
答:概率分布不随时间推移而变化的信号，即平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。
（2）判断随机信号是广义平稳的条件？
答：1、x(t)的均值是与时间无关的常数：m（x（t））=C （C为常数）；
2、x（t）的自相关函数与起始时间无关； 3、信号的瞬时功率有限；
56、已知信号的功率谱为，测量该信号时混入了加性噪声
，测量数据为且
与
，式中，是均值等于零、方差等于1的白噪声，
进行处理，以得到对
不相关。试设计一因果IIR维纳滤波器，由它对
的线性最佳估计。
解：（1）求测量数据序列的功率谱并进行谱分解
令
得联立方程
解之得f=2或0.5，取f=0.5，则得
故分解为
由此得出 （2）对
进行因果和逆因果分解
将上式写成部分分式
因果部分为
（3）计算因果IIR维纳滤波器的传输函数
（4）计算该滤波器的冲击响应
（5）计算最小均方误差
若不用维纳滤波器进行处理，直接用
作为
的估计，则估计误差为
其均方值为
可见用维纳滤波器后均方误差约减小为原来的2.7倍或4.3db。 57、ARMA(p,q)的模型表达式为？ 答：u(n)???aku(n?k)??blv(n?l)
k?1l?0pq58、Burg算法有什么特点？
?(n),而是从数据x(n)直接求解； 答：(1)不需要估计自相关函数Rm(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；(4)Burg算法估计的参数满足?i?1，i?1，2，...，p，即求出的AR模型总是稳定的；(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。
59、AR谱估计的基本原理是什么？ 答：AR谱估计的基本原理是：
p阶的AR模型表示为：x(n)????x(n?i)?u(n)
ii?1p 其自相关函数满足以下YW方程：
取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：
Rx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)?(m)，再利用 在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx以上矩阵方程，直接求出参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。
60、求一个MA(q)过程的最佳线性预测器的系数
2
Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p?????k,该预测器用无限多个过去预测当前值，
x?n???bku(n?k)k?0q即：
x?n?????ku(n?k)k?0q。并证明：该预测器等效于。
解：求MA(q)的Yual-Walk方程
qx?n???bku(n?k)k?0q
Rxx(m)?E[x(n)x(m?n)]?E{x(n)[?u(m?n?k)]}k?1?????E{[?h(l)u(n?l)]u(m?n?k)}k?1ql?0q??b?h(l)E[u(n?l)u(m?n?k)]kk?1ql?0???bkk?1qkk?1?h(l)?l?022?(m?l?k)?b?h(m?k),m?0,1,??,q
即为MA(q)模型的Yual-Walk方程。
设有MA(q)过程，现在根据它的p个已知数据{x(n-1),x(n-2), …x(n-p)}的线性组合
x?n???bku(n?k)k?0q来预测x(n)。
预测系数
2bk按预测误差功率最小准则来选取，即
???E[e(n)]?E[(x(n)?x(n))2]?min
R(k)??bl?2h(k?l)k?0,1,??,q由正交原理，
ql?1E[xiei]?0 可得R(k)?0M??q?1
这与MA(q)模型的Yual-Walk方程相同，若二者是有同样的自相关值，他们的解必相同，即
bl?bk，即最佳线性预测系数恰等于MA模型参数，根据Word分解定理推证，任何MA
x(n)???akx(n?k)k?1??过程可以用一个无限阶的AR过程表示。即这个无限阶的AR过程可
以表示成
x(n)??bkx(n?k)k?1??这个q阶的MA过程。
61、适应线性组合器的两个权系数为
h0(n)和h1(n)。
（1）推导最陡下降法权系数迭代计算公式 （2）设
Rxy(0)=10,
Rxy(1)=5,
Ryy(0)=3,
Ryy(1)?2,求最佳加权系数。
y(n)h(n) y(n)=y(n?1) 则u (n) =h (n) y (n)
(1):由题设：h(n) = 1 所以可得最陡下降法解： h (n=1) =h+(I-2μR)h(0)- h
?2?h0(n) 其中R=
Ryy(0)Ryy(1)Ryy(1)Ryy(0)3232 = 23
-1 104 =?1 （2）：h= R
??1P = 23 62、设随机过程为u（n）=Acos(wn+φ)。其中，A和w都是常数。φ是[0,2π]之间均匀分布的随机变量，试求u(n)的均值和自相关函数。
12πAcos(wn?x）dx?π0解：μ(n)=E{u(n)}=E{ Acos(wn+υ)}=2=0