.
115.射影公式 已知向量则
116.向量的直角坐标运算 设＝(1) ＋＝(2) －＝(3)λ
＝
，＝
则 ； ；
(λ∈R)；
；
，B=
118．空间的线线平行或垂直 设
，
，则 ，则
.
=和轴，是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影
，作B点在上的射影
，
(4) ·＝117.设A
；
.
119.夹角公式
设＝推论
，＝，则.
，此即三维柯西不等式.
120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为，则。
特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有121．异面直线所成角
。
=
21
其中122.直线
为异面直线与平面所成角
所成角，分别表示异面直线的方向向量
(
123.二面角
为平面的法向量).
的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角
或，为平面，的法向量.
124折叠角定理
设AC是α内的任一条直线，AD是α的一条斜线AB在α内的射影，且BD⊥AD，垂足为D，设AB与α(AD)所成的角为
， AD与AC所成的角为
， AB与AC所成的角为．则
.
125.空间两点间的距离公式 若.
126.点
到直线距离
A
，B
，则
=
(点
127.异面直线间的距离
在直线上，为直线的方向向量， =).
(
128.点
是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
到平面的距离
为平面的法向量，
129.异面直线上两点距离公式
.
，是的一条斜线段.
.
.
22
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
,
,
).
的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，
130.三个向量和的平方公式
131．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 132．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 133.球的半径是R，则其体积
,其表面积
．
134.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为(正四面体高的),
外接球的半径为(正四面体高的).
135．柱体、锥体的体积
是柱体的底面积、是柱体的高.
是锥体的底面积、是锥体的高.
136.分类计数原理加法原理：137.分步计数原理乘法原理：
. .
138.排列数公式 ：==.(，∈N*，且)．规定.
139.排列恒等式 :(13
; 4
; 5
;2
.
23
;
(6) .
140.组合数公式：==
=
;(2)
=+
=
(∈N*，.规定
.
，且).
141.组合数的两个性质:(1) 142.组合恒等式 1
;2
;
35(6)(7) (8)(9)(10)
; 4=; .
.
. . .
. .
个元素的排列
143.排列数与组合数的关系:
144．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取1“在位”与“不在位” ①某特元必在某位有
着眼元素种.
2紧贴与插空即相邻与不相邻 ①定位紧贴：
个元在固定位的排列有
种；②某特元不在某位有补集思想着眼位置
种.
种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个排列数有
种.
，把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有
3两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
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当时，无解；当时，有种排法.
.
4两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为145．分配问题
1(平均分组有归属问题)将相异的
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
.
2(平均分组无归属问题)将相异的
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
.
3(非平均分组有归属问题)将相异的，
，?，
件，且
，
，?，
这
个物体分给
个人，物件必须被分完，分别得到
个数彼此不相等，则其分配方法数共有
.
4(非完全平均分组有归属问题)将相异的得到
，
，?，
件，且
，
，?，
这
个物体分给
个人，物件必须被分完，分别
个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数
有 .
个物体分为任意的
，，?，件无记号的
堆，
5(非平均分组无归属问题)将相异的
且，，?，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.
，
，?，
件无记号
6(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的
的堆，且，，?，这个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有
个物体分给甲、乙、丙，??等
件，丙得
件，?时，则无论
，
，?，
等
.
个人，物体必须个数是否全相
7(限定分组有归属问题)将相异的被分完，如果指定甲得
件，乙得
异或不全相异其分配方法数恒有
.
146．“错位问题”
2封信与2个信封全部错位排列数：1；
25