， ∴△BEC≌△DFA（SAS）． （2）由（1）得，CE=AF，AD=BC， 故可得四边形AECF是平行四边形． 点评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对边相等，四角都为90°，及平行四边形的判定定理． 39、（2013?呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
考点： 全等三角形的判定与性质．3718684 专题： 证明题． 分析： 根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论． 解答： 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE， 即∠ACB=∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ∵ ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 点评： 本题考查了三角形全等的判定方法和性质，由∠1=∠2得∠ACB=∠DCE是解决本题的关键，要求我们熟练掌握全等三角形的几种判定定理． 40、（2013?新疆）如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 分析： （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可； （2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，AB∥CD． ∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF． ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形， 理由如下： 由（1）可知△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∵AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF=AC， ∴四边形AECF是矩形． 点评： 本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题 41、（2013菏泽）（1）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC． ①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）①求出∠ABE=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可； ②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可； 解答：（1）①证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°， 在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB=CB，∠ABC=90°， ∴∠CAB=45°， ∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°， ∵△ABE≌△CBD， ∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°；
点评：本题（1）考查了全等三角形的判定与性质，是基础题； 42、（2013?南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．3718684 分析： （1）首先根据菱形的性质，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，结合点E、F分别是边BC、AD的中点，即可证明出△ABE≌△CDF； （2）首先证明出△ABC是等边三角形，结合题干条件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的长． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D， ∵点E、F分别是边BC、AD的中点， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ∵， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点E是边BC的中点， ∴AE⊥BC， 在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4， sin60°==， 解得AE=2． 点评： 本题主要考查菱形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三角形的证明以及等边三角形的性质，此题难度不大，是一道比较好的中考试题． 43、（2013?淮安）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点0作直线，分别交AD、BC于点E、F．
求证：△AOE≌△COF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定．3718684 专题： 证明题． 分析： 据平行四边形的性质可知：OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，所以△AOE≌△COF． 解答： 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO． 又∵∠AOE=∠COF，OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF． 点评： 此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题． 44、（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质． 专题：证明题．
分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，
解答：证明：如图，过点B作BF⊥CE于F， ∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°， ∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°， ∴∠BCF=∠D， 在△BCF和△CDE中，
∴△BCF≌△CDE（AAS）， ∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE， ∴四边形AEFB是矩形， ∴AE=BF， ∴AE=CE．
，
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键． 45、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．
考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；
（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．