考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： （1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB； （2）当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=2AC． 解答： （1）证明：连结CE． ∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=CD． 在△ADE与△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30°． ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°． ∴∠B=30°． 在Rt△ACB中，sinB=∴当AC=，sin30°=，AC=或AB=2AC． 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形． 点评： 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质． 51、（2013?遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证： （1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定得出即可； （2）根据菱形的判定得出即可． 解答： 解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C， ∵在△AED和△CFD中 ∴△AED≌△CFD（AAS）； （2）∵△AED≌△CFD， ∴AD=CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 点评： 此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A=∠C是解题关键． 52、（2013?毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是DCB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EBF=90°， ∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； 故答案为A、90； （3）解：∵BC=8， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴AE==10， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°， 2∴△AEF的面积=AE=×100=50（平方单位）． 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 53、（2013?牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB． 又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= +1 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．3718684 分析： （1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB﹣AE即可证得； （2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 解答： （1）如图（2）：AB﹣BD=CB． 证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=CB． 又∵BE=AB﹣AE， ∴BE=AB﹣BD， ∴AB﹣BD=CB． 如图（3）：BD﹣AB=CB． 证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=CB． 又∵BE=AE﹣AB， ∴BE=BD﹣AB， ∴BD﹣AB=CB． （2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠ABC=45°，DB⊥MN， ∴∠CBD=135°， ∵∠BCD=30°， ∴∠CBH=60°， ∴∠DBH=75°， ∴∠D=15°， ∴BH=BD?sin45°， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴DH=BH=BD=×=1， ∵∠BCD=30° ∴CD=2DH=2， ∴CH=∴CB=CH+BH==+1； ，