过程：
十二、 实例：1?当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长 2?在双曲线xy?1中，当x???时曲线与x轴的距离无限趋近于0 十三、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限
11111? 数列1：,2,3,?,n,?
10101010 ①“项”随n的增大而减少 ②但都大于0
1 ③当n无限增大时，相应的项n可以“无限趋近于”常数0
10123n,? 2? 数列2：,,,?,234n?1 ①“项”随n的增大而增大 ②但都小于1
n ③当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1
n?111(?1)n,? 3? 数列3：?1,,?,?,23n ①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小
(?1)n ②当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数
n引导观察并小结，最后抽象出定义：
一般地，当项数n无限增大时，无穷数列?an?的项an无限地趋近于
某个数a（即an?a无限地接近于0），那么就说数列?an?以a为极限，或者说a是数列?an?的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）
数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0 十四、 例一 （课本上例一）略
注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无
限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。
练习：（共四个小题，见课本）
十五、 有些数列为必存在极限，例如：an?(?1)n?2或an?n都没有极限。 2例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？
1?(?1)n1?(?1)n 1．an? 2．an? 3．an?an(a?R)
22?35?? 4．an?(?1)n?1? 5．an?5?????n?3?n解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,?? 不存在极限
222．?an?：2,0,,0,,0,?? 极限为0
353．?an?：a,a2,a3,?? 不存在极限
334．?an?：3,?,1,?? 极限为0
24n???5555255?????5．?an?：先考察??：?,,?,,?? 无限趋近于0 ?3??392781?????? ∴ 数列?an?的极限为5
十六、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限 十七、 作业： 习题1
补充：写出下列数列的极限：1? 0.9,0.99,0.999,?? 2? an?1 n234561111??3? ?(?1)n?1?? 4? ,,,,?? 5? an?1?????n
2345242n??第十七教时
教材：数列极限的定义（??N）
目的：要求学生掌握数列极限的??N定义，并能用它来说明（证明）数列的极
限。 过程：
十八、 复习：数列极限的感性概念 十九、 数列极限的??N定义
?(?1)n?111a:?1,,?,,?? 1．以数列?为例 ?nn234??
观察：随n的增大，点越来越接近
?1 0
12(?1)n1?0?可以充即：只要n充分大，表示点an与原点的距离an?0?nn
分小
进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数
(?1)n111?0?< 2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是，要使an?0?nn1010?(?1)n?只要n?10即可 即：数列??的第10项之后的所有项都满足
n??(2) 同理：如果预先给定的正数是(3) 如果预先给定的正数是
13n?10，同理可得只要即可 3101k(k?N*)n?10，同理可得：只要即可 k10 3．小结：对于预先给定的任意小正数?，都存在一个正整数N，使得只要n?N
就有an?0
4．抽象出定义：设?an?是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定
的任意小的正数?，总存在正整数N，使得只要正整数n?N，就有
an?a
记为：liman?a 读法：“?”趋向于 “n??” n无限增大时
n?? 注意：①关于?：?不是常量，是任意给定的小正数
②由于?的任意性，才体现了极限的本质
③关于N：N是相对的，是相对于?确定的，我们只要证明其存在 ④an?a：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋
近于a，也可以摆动趋近于a
二十、 处理课本 例二、例三、例四
例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身 例四 这是一个很重要的结论 二十一、 用定义证明下列数列的极限：
3n?132n?1? 1．limn?1 2．limn??2n?1n??22证明1：设?是任意给定的小正数
2n?1111n?1???2? 要使 即： nnn?222
两边取对数 n?log21?? 取 N??log2? ????介绍取整函????1数
2n?12n?1?1??恒成立 ∴limn?1 当n?N时，
n??22n 证明2：设?是任意给定的小正数
要使
1?513n?13? n?? ??? 只要
2n?154?22n?123n?13?51?取N???? 当n?N时，???恒成立
2n?12?4?2?∴lim3n?13?
n??2n?12第十八教时
教材：数列极限的四则运算
目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。 过程：
二十二、 复习：数列极限的??N定义 二十三、 提出课题：数列极限的四则运算法则
1．几个需要记忆的常用数列的极限 1n?1a?a(a为常数) qn?0 (q?1) lim?1 lim lim?0 limn??n??nn??n??n 2．运算法则：
如果 liman?A limbn?B
n??n??anA(a?b)?A?B limn?,(B?0) 则： lim(a?b)?A?B limn??n??n??bBnnnn3．语言表达（见教材，略）
此法则可以推广到有限多个数列的情形
123n,? 它的极限为1 解释：如数列 ,,,?,234n?1 2,2,2,?,2,? 它的极限为2
123n,?它的极限为3 则 2,2,2,?,2?234n?1
nn)?lim2?lim?2?1?3
n??n??n?1n?1n??二十四、 处理课本 例一、例二 略
即：lim(2? 例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：
2n?11．lim
n??3n?21112?lim(2?)lim2?lim2?02n??n??nn?n??解：原式=limn???
n??2223?033?lim(3?)lim3?limn??n??nnn??n145??35n3?n2?4nn?5 2．lim 解：原式=limn??6n3?n?1n??1166?2?3nn514??322355n?n?40nnn3．lim 解：原式=lim??0
n??6n5?n?1n??1166?4?5nn?a0?b(p?q)pp?1p?2a0x?a1x?a2x???ap?0??0 (p?q) 小结：．．．limn??bxq?bxq?1?bxq?2???b012q?不存在(p?q)?? 例四、首项为1，公比为q的等比数列的前n项的和为Sn，又设Tn?limTn
n??Sn，求Sn?1Sn1?qn解： Tn??(q?1)
Sn?11?qn?1 当q?1时，limTn?1
n???1???q???11当q?1时，limTn?lim??n?
n??n??q?1???q???q??当q?1时，limTn?limn??nnn?1n???1