当q?1时，limTn不存在
n??二十五、 小结：运算法则、常用极限及手段
二十六、 作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）
第十九教时
教材：数列极限的运算
目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。 过程：
一、复习数列极限的运算法则
例一、先求极限limn??n2?n?1，再用ε—N定义证明。 22n?1解：limn??n?n?1?lim22n?1n??21?11?nn2?1 122?2nn2?n?112n?1任给??0,| ?|?2n2?122(2n2?1)则
2n?12n2n1???
2(2n2?1)4n2?22n2n(?当n?1时,n2?1,2n2?2,?4n2?2?2n2) 令
1??nn?1?1取N?[]
?n2?n?11当n?N时,|?|??22n?12恒成立?limn??n2?n?11? 222n?1二、先求和，后求极限：
例二、求极限
1．lim(n??1473n?2??????) 2222nnnnn(3n?1)1? （指出：原式=0+0+0+??+0=0 是错误的） 22n2解：原式=limn??2．limn??1?2?2?3????n(n?1) 2n(n?3)
解：原式=limn??n(n?1)(2n?1)n(n?1)?2n3?6n2?4n162?lim? 33n(n2?3)6(n?3n)n??11113．lim[(1?)(1?2)(1?4)??(1?2n?1)]
222n??2(1??)(1?2n?1122n?11解：?1?122n?122)2n?111?(?1?22)n?1211??1?122 122n?1n1?12?n?1
1111?11?11?1?1?222232n2n22222?原式?lim[??????]?lim?2 11111n??n??1?1?21?221?2n?11?222224．已知数列{an}中an?1，求limSn
n(n?1)(n?2)n??解：?
1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)1111111{(?)?(?)????[?]}21?22?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?2)1111[?]?22(n?1)(n?2)4?原式?limn??
?limn??三、先共扼变形，再求极限：
例三、求极限
1．limn??n(n?1?n)
解：原式=limn??n(n?1?n)(n?1?n)n?1?n11?1?1n?1 2?limn??nn?1?n
?limn??2．limn??n?1?nn?2?n
解：原式=limn??(n?1?n)(n?1?n)(n?2?n)(n?2?n)(n?2?n)(n?1?n)n?2?n2(n?1?n)?1 2
?limn??3．lim(1?2?3????n?1?2?3????(n?1))
n??解：原式?lim(n??n(n?1)n(n?1)?)?lim22n??11111(1?)?(1?)2n2n22nn(n?1)n(n?1)?22
?limn???四、作业：
34561．求数列,,,,?的极限为 1 23451111??????]? 1 2．lim[2?33?4n(n?1)n??1?23．lim(1?n??111?????n)? 2 2424．lim(n??31473n?2??????)? 22222n?1n?1n?1n?15．limn??..3n?1?2n?1? 9 3n?1?2n?13 116．0.27=
7．用数列极限的定义证明：limn??n21?
3n2?13510155n123n,?和,,,?,,? 8．已知数列,,,?,345n?2345n?2(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；
(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，
验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。
第二十教时
教材：求无穷递缩等比数列的和
目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。 过程： 一、例题：
1111例一、已知等比数列,,,?n,?，求这个数列的前n项和；并求当n??
2482时，这个和的极限。
11n[1?()]a1(1?qn)2112 解：公比 q? , Sn???1?n 11 21?q21?22?limSn?limn??n??11(1?n)?1?lim()n?1?0?1
22n??14 18 解释：“无穷递缩等比数列”
1? 当n??时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n
项）
2? 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩” 3? 数列{an}本身成GP
a1(1?qn)小结：无穷递缩等比数列前n项和是Sn?
1?q当n??时， S?limSn?limn??n??a1(1?qn)a?lim1?lim(1?qn)
1?qn??1?qn???S?a1 其意义与有限和是不一样的 1?q,0.0003,??各项和。 例二、求无穷数列0.3,0.03,0.003330.03131? 解：a1?0.3?,q? ?S?10??
193100.3101?10例三、化下列循环小数为分数：
1．2.13 2．1.1321
????13??13131313解：1．2.13?2??????2?100?2??2
11001000099991?100
13??321321321132044 2．1.1321?1.1?4?7?10????1.1?10000?1 ?1199903331010101?310小结法则： 1． 2．
纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99??9，其中9的个数是循环节数字的个数。
混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99?900?0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。
例四、某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方
和。
解：设首项为a ，公比为 q，( | q | <1 ) 则
?a?4(1)??1?q?a2??6(2)2??1?q1)?(2)得：?(????21?q8524 ??q?代入(1)：a?1?q31111243)a76811∴各项的立方和：S? ??53671?q31?()113(例五、无穷递缩等比数列{an}中，lim(a1?a2????an)?n??1，求a1的范2围。
解：
a11??q?1?2a11?q2?0?|q|?1?0?|1?2a1|?1
?0?a1?1?1 ?0?4a12?4a1?1?1??a?1?2??0?a1?1且a1?1 2二、小结： 三、作业：
31111???(?)n?1??? 1．1???4392732．lim[3?(n??1n)]?3，则a的取范围是 a>3 或 a<1 a?2