例5 圆锥的体积
从表格里可以看到，全单元的教学内容大致由三部分组成:认识圆柱和圆锥，了解它们的形状特点；理解圆柱的侧面积与表面积的含义，计算圆柱侧面积和表面积的方法；理解圆柱和圆锥体积的意义，计算圆柱和圆锥体积的公式。由于圆锥的表面展开图是一个扇形和一个圆的组合，相对比较复杂，所以小学数学不教学扇形的面积，即本单元不涉及圆锥的侧面积和表面积。
从表格里还能看到，教学圆柱和圆锥的内容编排，与教学长方体和正方体差不多。这就使本单元的教学，可以充分利用以前教学长方体和正方体的方法与经验，提高效率，让学生在各个方面都得到较好的锻炼。
（一） 仔细观察、动手操作、充分交流，了解圆柱和圆锥的形状特点，建立相应的形体概念
教材编排一道例题，先后教学圆柱和圆锥的形状特点。这样安排出于两个原因：一是学习圆柱和圆锥的起点不同，二是认识圆柱和圆锥的难度不同。学生在第一学段已经直观认识了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等活动，对圆柱的形状有了一些粗浅的感受。这是他们继续认识圆柱的起点，而学习圆锥就没有这样的台阶。相对于认识圆柱来说，了解圆锥会稍难些。首先，圆柱有两个圆形底面，圆锥是一个底面、一个顶点，感受圆柱侧面是曲面比较容易，感受圆锥侧面是曲面稍难些。其次，圆柱的高是它两个底面之间的距离，比较容易表示和测量。圆锥的高是它顶点到底面的距离，表示或测量都要难些。可见，把认识圆柱和圆锥的教学适当分开，先圆柱、后圆锥，是比较好的编排。像这样先“易”后“难”，先“熟”后“生”，有利于教学突出重点。把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也体现了它们既是不同的几何体，也有内在联系。它们的联系，一是“都有圆形底面”，二是“圆锥体积是等底等高圆柱的三分之一”。
教学圆柱，从识别圆柱形物体开始。因为日常生活中有许多圆柱形状的物体，学生已有识别的能力。通过识别，不仅引出了学习内容，而且能体会学习圆柱的现实意义。例题的图片里，有些物体是圆柱形的，有些物体是圆锥形的。圆柱形的物体中，有的横放、有的竖摆；有的很高、有的很矮。这就为教学圆柱提供了丰富的感性材料。
教学圆柱的形状特点，要引导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的讲解。因为圆柱的形状需要学生充分感知，有关圆柱特点的数学术语和规范表述不是他们发现创造，而是意义接受的。三个小卡通的交流，代表学生通过观察、操作，获得的有关圆柱的感性认识，也是圆柱的最主要特点。学生通常对圆柱“上下两个面是完全相同的两个圆”“有一个曲面”这两点比较关注，对圆柱“上下一样粗”容易疏忽，教学要注意这一点。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可以相机指出圆柱上、下两个面叫作圆柱的“底面”，围成圆柱的曲面叫作“侧面”；及时呈现圆柱的几何
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图形，在图形上标出底面和侧面。这是帮助学生建立圆柱概念的重要步骤。教师还应该告诉学生，圆柱两个底面之间的距离叫作高，并在圆柱的几何图形上标出高，直观表达高的数学含义。同时，也让学生想想测量圆柱高的方法。
以往，有些课堂上强调圆柱有“无数”条高。这出于可以在圆柱的侧面上或圆柱的内部，可以任意选择位置表示出圆柱的高。其实圆柱的“高”是一个数学概念，指的是圆柱两个底面之间的距离。人们可以在适当的位置上表示圆柱的高，在方便的位置上测量圆柱的高。教学应该突出的是关于圆柱高的概念，关于圆柱图形上表示高的方法，以及测量圆柱形物体的高的方法。没有必要在“几条”上纠缠不清，特别不能造成概念的含糊。
教学圆锥，从圆锥形状的物体引入。由于学生首次接触圆锥，教材指着沙堆、屋顶等图片，告诉他们“这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥”。认识圆锥的学习方式与认识圆柱相似，也是一边观察、操作、交流，一边接受教师的讲解。要引导学生把认识圆柱的学习活动经验迁移到认识圆锥上来，在观察圆锥形物体的基础上抽象出圆锥的几何图形；在交流圆锥特征的过程中认识圆锥的顶点、底面和侧面。圆锥的高是教学难点。因为圆锥的高是圆锥内部一条线段的长。教材图文结合，指出从圆锥的顶点到底面的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出从顶点到底面圆心的线段，帮助学生理解圆锥高的含义。教学圆锥的高，除了准确而精练的讲解，还要给学生体会和内化的机会。可以让他们指着圆锥形实物或圆锥的几何图形，说说什么是圆锥的高，并且想办法量出圆锥形物体的高。
例1的“练一练”提供了九个物体的图片，要求找出其中圆柱形状的物体和圆锥形状的物体。教学这道题，不仅要让学生辨别哪些物体是、哪些物体不是，还要引导他们说出理由。尤其对上口小、下底大的杯子，两个底面虽然相同但两底之间粗细不同的鼓等等，指出它们不是圆柱或者不是圆锥的原因，以加强对圆柱和圆锥形状特点的体验。
练习二第1、2、3题配合例1的教学。练习设计十分重视空间观念的培养，有很强的操作性。尤其是第2题，要求从前面、右面、上面观察圆柱和圆锥，通过立体图形与平面图形、曲面与平面的相应转化，加强对圆柱和圆锥特征的体验。特别是从正面和侧面观察圆柱或观察圆锥，看到的图形相同；从上面观察圆锥，看到一个圆以及它中心的一个点。能使头脑里的圆柱、圆锥表象更加清晰。第3题要求利用教科书附页里的图形做一个圆柱和一个圆锥，体会圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是扇形卷成的，经历平面变成曲面的过程。同时，做出一个圆锥只要一个圆，做出一个圆柱需要两个同样大小的圆，再次体会了圆柱和圆锥的特征。测量做出的圆柱和圆锥的底面半径与高，可以再次巩固高的概念，也能为接下来教学表面积和体积作些准备。
（二） 展开圆柱的侧面与表面，探索侧面积与表面积的计算方法
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圆柱是两个同样大小的圆和一个曲面围成的立体，它的表面积是侧面积与两个底面积的总和。圆柱的侧面展开是什么形状？侧面积怎样计算？这些都是新知识。为此，教材先安排例2教学圆柱的侧面积，再在例3里教学圆柱的表面积。
例2要求计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积。学生在这个问题情境里会产生把商标纸剪开后看看、算算的想法，这正是教材期望的学习活动。例题的教学分三步安排：第一步由“白菜”卡通指导学生“沿着接缝把商标纸剪开，展开后看看是什么形状”，让他们通过这些操作，发现商标纸展开后是长方形，从而理解圆柱的侧面展开图是一个长方形。教学这一步，要组织学生讨论“为什么沿着接缝剪？”弄明白沿着其他地方剪也能把商标纸展开，但得到的不一定是长方形，计算长方形的面积比计算其他图形的面积方便。还要组织学生讨论“商标纸的接缝相当于圆柱的什么？”弄明白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，而这样做才能使侧面展开成一个长方形。第二步研究长方形的长与宽在圆柱上各是什么。因为计算长方形面积需要知道它的长与宽，而在圆柱上只知道底面直径和高，必须沟通长方形的长、宽和圆柱的直径、高之间的联系，为计算侧面积创造条件。教学这一步应该让学生明白研究什么、为什么研究，带着积极的心向去寻找联系。还要让学生面对长方形围成圆柱的侧面、圆柱侧面展开成长方形的现象，理解长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。由此得出圆柱的侧面积等于底面周长乘高。第三步列式计算商标纸的面积，即计算圆柱的侧面积。这一步要求学生独立完成。教师要指导他们分步计算，先算出圆柱的底面周长（侧面展开的长方形的长），再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，比列综合算式方便。还要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁琐的乘法笔算上。教材还指出“（商标纸的面积）也可以这样计算：11π×15=165π”，省略165×3.14的笔算，用165π作为最后的得数。这与中学数学是接轨的，会受到教师和学生的欢迎。
例4教学圆柱的表面积，关键在于建立表面积的概念。只要理解“求表面积”就是求什么，算法自然就产生了。而且长方体与正方体表面积的概念和算法，对教学圆柱表面积有支持作用。例题按如下的思路编写，大致分两步教学。第一步要求在方格纸上画出一个圆柱的表面展开图。这个圆柱的几何图形上标出了底面直径2厘米、高2厘米，要求学生看着圆柱图形和标注的底面直径与高，思考圆柱的侧面沿着高展开，得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面分别是多大的圆，并在方格纸上画出一个长方形和两个圆，即这个圆柱的表面展开图。画出的图形能直观展示表面积的含义：圆柱侧面积与两个底面积的和，是圆柱的表面积。这既是表面积的概念，也是计算表面积的方法。和长方体、正方体的表面积计算一样，圆柱的表面积计算也不给出公式，让学生在理解表面积意义的基础上推理算法，以避免记忆公式的负担。第二步计算例题呈现的圆柱的表面积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例2教学，计算两个底面圆的面积是旧知识，学生应该能独立计算圆柱的表面积。教师仍然要提醒他们列分步算式解答，通常先算出侧面积，再算出一个底面的面积，然后算侧面积与两个底
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面积的和。学生如果用4π表示侧面积，用2π表示两个底面圆的面积，用6π表示表面积，应该加以肯定。
计算圆柱的侧面积或表面积，一般都已知圆柱的高，还要已知底面的直径（或者半径、周长）。接着例3编排的“练一练”给出的底面条件有直径、有半径、也有周长等各种情况，要帮助学生激活有关圆的知识和经验，并正确应用到计算圆柱的侧面积和表面积上面。
练习二第4~12题，应用圆柱侧面积和表面积知识解决实际问题。习题编排分三个层次：第4、5两题的练习重点是把实际问题抽象成数学问题，求制作队鼓的铝皮面积是计算圆柱的侧面积，求制作队鼓的羊皮面积是计算两个底面积的和，求做一个油桶需要的铁皮是计算圆柱的表面积。第6题有整理知识和思路的作用。通过填表帮助学生进一步区分圆柱的侧面积、底面积、表面积三个不同的概念和不同的算法；整理侧面积、底面积与表面积之间的联系，使计算圆柱表面积的思路更加清楚。第6～12题要求灵活应用圆柱侧面积与表面积的知识解决问题，有时只需要计算侧面积，有时要计算侧面积与一个底面积的和，有时是计算表面积。正确解答这些问题，需要仔细读题，准确理解题意，还要有相应的生活常识和经验。如通风管是没有底面的圆柱形筒，计算通风管所用的材料，是求圆柱侧面积的问题。无盖的水桶可以看成只有一个底面的圆柱形，计算制作这样的水桶要用多少材料，是求圆柱侧面积和一个底面积的和。
（三） 通过猜想——验证，探索圆柱和圆锥的体积计算公式
学生已经掌握了长方体和正方体的体积公式，而且知道它们的体积都可以用“底面积×高”来计算。事实上，不仅是长方体与正方体，求各种直柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算，圆柱的体积也是这样。
例4教学圆柱的体积。教材先呈现了长方体、正方体和圆柱这三个立体图形，涂色突出它们的底面，指出这三个几何体的底面积相等，高也相等。要求先猜想圆柱体积与等底（面积）等高的长方体、正方体体积是不是相等，再通过把圆柱“等积变形”证实猜想，推导出圆柱的体积计算公式。猜想与验证是人们解决问题经常采用的策略。教材鼓励学生猜想并验证，调动他们的积极性，使圆柱体积的教学不是被动接受，而是有意义的探索。
例题通过两个问题帮助学生形成猜想：第（1）个问题是图示的长方体和正方体体积相等吗？为什么？引导学生回忆长方体和正方体的体积都可以用“底面积×高”的方法计算，从长方体与正方体的底面积相等、高也相等，判断它们的体积相等。充分体会长方体或正方体的体积与它们的底面积和高有关，把计算直柱体体积的心向调整到“底面积×高”上面。第（2）个问题是猜想图示的圆柱体积会不会和长方体、正方体的体积相等。从等底（面积）等高的长方体与正方体体积相等，类比推理等底（面
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积）等高的圆柱与长方体体积也会相等，猜想圆柱的体积也可以用“底面积×高”来计算。这就为探索圆柱的体积公式找到了方向。
猜想必须验证，这是科学精神、严谨态度的表现。类比推理的结论可能正确，也可能错误，要经过验证才能确认或者否认。为了证实圆柱体积可以用“底面积×高”计算，教材设计了三步活动：首先是形成验证思路，把圆柱转化成等底（面积）等高，体积不变的长方体，并展示转化过程。转化思路的形成，借鉴了把圆转化成长方形计算面积的经验。转化的要领是保持圆柱与长方体等底（面积）、等高、等（体）积。学生可以看教材里的插图，明白怎样把圆柱切割与改拼。如果能亲自操作学具，实践圆柱的等（体）积变形，就更好了。然后是渗透极限思想。把圆柱的底面平均分成16份，切开后拼成的只是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底面平均分的份数越多，切开后拼成的物体越接近长方体。圆柱底面被平均分的份数足够多，就能转化成等底（面积）、等高、等（体）积的长方体。最后是推导圆柱的体积计算公式。由于圆柱与转化成的长方体体积相等，所以求圆柱的体积只要计算长方体的体积；由于长方体体积可以用底面积乘高计算，而长方体的底面积与圆柱底面积相等，长方体的高与圆柱的高相等，“底面积×高”计算的既是长方体的体积，也是圆柱的体积。由此得出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积＝底面积×高。
必须注意的是，在得出圆柱体积计算公式以后，教材安排“回顾圆柱体积公式的探索过程”，要求学生交流体会。“转化”是探索圆柱体积公式的策略，在寻求圆柱体积计算方法的过程中，“转化成长方体”是关键。教学应通过回顾，突出转化策略在这里的应用，联系实际加强策略意识。另外，用“底面积×高”涵盖长方体、正方体和圆柱的体积计算，有利于优化认知结构，这也应是回顾与反思的一个重要内容。
得出圆柱的体积公式以后，利用公式计算圆柱的体积就让学生独立进行了。“试一试”和“练一练”分别已知圆柱的底面半径和高、底面直径和高、底面周长和高，求圆柱的体积。与前面计算圆柱的表面积相似，计算体积也可以分步列式，先算出圆柱的底面积，再计算体积。尤其是已知圆柱底面直径或周长时，分步计算体积能够减少错误。
练习三配合例4的教学，设计了三个层次的习题。第1、2两题是一个层次，主要帮助学生消化基础知识。计算圆柱体积的基本方法是底面积乘高，如果已知圆柱的底面积，可以直接与高相乘；如果没有已知底面积，应该先算出底面积。第4～9题是一个层次，主要帮助学生应用体积知识解决实际问题。要注意的是，如果计算圆柱形物体的体积，应该在物体外面测量有关的长度；如果计算圆柱形物体的容积，应该从物体的里面测量需要的数据。其中第7题，把一张长5厘米、宽4厘米的长方形纸分别绕其长或宽旋转，能形成两个不同的圆柱。先估计这两个圆柱的体积，指出哪一个大，再计算它们的体积，验证前面的估计。教学这道题，要让学生体验“长方形绕其长（宽）旋转，能形成长方体”的现象。如有必要，可以动手操作，实践一下。要识别形成的圆柱的底面半径和高，把已知的长方形的长、宽转化成圆柱的有关数据。形
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