（四） 在图形缩小或放大的情境中，发现并应用比例的性质
教学比例的性质，能够更好地理解比例的意义，还能解决有关的实际问题。例4教学比例的性质，大致分五步进行：第一步，在按比例缩小三角形的情境里写出一些比例，为研究比例的基本性质准备充分的素材；第二步，教学比例的内项和外项，这是认识比例性质必须具备的概念；第三步，观察已经写出的几个比例，初步发现这些比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积；第四步，再写出一些比例，看看是否具有同样的规律，并在字母表示的比例上概括这样的规律；第五步，指出发现的规律是比例的基本性质，并在写成分数形式的比例上体会比例的性质。
把三角形按比例缩小，根据图形缩小的含义，联系在例1和例3里习得的经验，可以想到缩小后与缩小前两个三角形底的比和高的比相等，或者高的比和底的比相等；还可以想到缩小前、后每个三角形底与高的比相等，或者高与底的比相等。于是，交流中出现四个不同的比例。教材指出“组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。”并且选择一个比例，指出6∶3＝4∶2里，3和4是比例的内项，6和2是比例的外项。还要求学生说说其他三个比例的内项和外项各是几，掌握比例的项的知识。
观察四个比例，能够发现，6和2总是同时做比例的内项，或者同时做比例的外项。3和4也是同时做比例的外项，或者同时做比例的内项。如果6和2是比例的内项，那么3和4是比例的外项；如果6和2是比例的外项，那么3和4是比例的内项。从而体会这四个比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。除了这四个比例，其他比例也是“两个内项的乘积等于两个外项的乘积吗”？可以再写出一些比例来验证，检验前面四个比例里的规律是不是具有普遍意义。尽管，小学数学只能选择一部分比例来验证，但也体现了严谨的学习态度。通过比较丰富的实例，可以确认“两个外项的积等于两个内项的积”是所有比例的共同规律。
把比例用四个字母表示成a∶b＝c∶d，比例的两个外项的积等于两个内项的积可以写成a×d＝b×c。教材用字母式子表示这个规律，出于两点考虑：一是符号化能够提升对比例性质的概括程度。这里四个字母组成的比例代表所有的比例，字母表示的两个积相等，是所有比例的共同性质。二是有利于应用。以后解比例，都要根据比例性质写出两个外项相乘等于两个内项相乘，才能继续求解，应该让学生学会这个写法。
“试一试”应用比例的基本性质，判断3.6∶1.8和0.5∶0.25能否组成比例，1/3∶1/4和18∶24能否组成比例。在教学比例意义时，判断两个比能否组成比例，要看它们的比值是不是相等。而这里应用比例性质进行判断，思考线索应该是：如果这两个比能组成比例，那么3.6×0.25的积会和1.8×0.5的积相等；如果这两个比不能组成比例，那么3.6×0.25的积与1.8×0.5的积不相等。所以，解决这个问题要分别
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计算3.6×0.25和1.8×0.5，并比较两个积的大小。至于组成的比例，可以是3.6∶1.8＝0.5∶0.25，或者是0.5∶0.25＝3.6∶1.8。
“练一练”是“试一试”的延伸。第1题中一列火车从甲城开往乙城，在行驶速度与相应时间的三组数据中选择两组，写出一个“速度×时间=速度×时间”的式子，并改写出一个比例。这道题与“试一试”是“接轨”的。第2题要求在（）∶6=4∶（）和5∶（）=（）∶8的括号里填数，可以有多种思考。这里应突出“根据比例的基本性质”，想“几与几相乘的积是24”，找到前一个比例的两个外项；想“几和几相乘的积是40”，找到后一个比例的两个内项。
练习七第2题给出四组数，每组四个数。要求先判断哪几组中的四个数可以组成比例，再把组成的比例写出来。如5、7、15和21这四个数，由于5×21＝7×15，所以这四个数能够组成比例。5和21可以同时做比例的外项，7和15同时做比例的内项；5和21也可以同时做比例的内项，7和15同时做比例的外项。一共可以写出8个不同的比例。对于每一个学生来说，只要求正确写出一个比例，并在交流时知道还能写出其他比例就可以了，不必要求每个学生都写出8个比例。
（五） 应用比例的基本性质解比例，解决有关图形放大或缩小的实际问题 例5创设照片放大的情境，给出原来照片的长和宽，以及放大后照片的长，要求放大后照片的宽。解决这个实际问题涉及两个内容：一是根据图形放大的含义列出含有未知数的比例，二是利用比例基本性质解比例。教材通过“玉米”卡通的问题“你是怎样理解按比例放大的？两张照片长与宽的比能组成比例吗？为什么”给学生以思路的引导。从图形放大的意义，引出长与宽的比组成的比例；从比例里有一个未知项，教学解比例。
根据“两张照片的长与宽能组成比例”，得出模型“放大前的长∶宽=放大后的长∶宽”。这个比例中，三个项是已知数，一个项未知，因此设放大后的照片宽x厘米，列出比例6∶4＝13.5∶x。这个比例也是一个方程。教材写出了解方程的第一步6x＝4×13.5，让学生思考“这一步计算的依据是什么”，理解这里应用了比例的性质，体会比例性质可以用来求比例中的未知项。接着的解方程没有新知识，交给学生独立完成。教材告诉他们，求比例中的未知项叫作解比例。
“试一试”和“练一练”都是解比例的专项练习。因为用比例解决实际问题离不开解比例，解比例应该成为学生的计算能力。“试一试”解写成分数形式的比例，帮助学生进一步熟悉比例的外项和内项。要留心学生是怎样应用比例性质，并写出两个外项相乘等于两个内项相乘式子的。“练一练”解的三个比例分别由整数组成、分数组成和小数组成，分别需要应用整数、分数和小数的乘、除法计算。教材没有出现由分数和小数组成的比例，因为小学数学不要求进行小数和分数的乘、除计算。
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练习七第5题要求“根据比例的基本性质”写出比例中的某个未知项，第6题要求“解比例”，这是教材的有意安排。显然第5题是为第6题作准备，为解比例打基础的。加强对比例基本性质的理解，有助于解比例的顺利进行。完成第6题后再回顾第5题，对比例性质可以解比例的体验就深刻了。
应用解比例不仅能解决图形放大、缩小的问题，也能解决其他情境的实际问题。练习七第8题，解决调制蜂蜜水应加入多少蜂蜜的问题，第9题解决合唱组男生和女生的人数问题。这些问题以前曾经用其他数学知识解答过，现在应用比例性质解答，体现出解比例有广泛的实际应用。
（六） 以图形放大与缩小为认知基础，教学比例尺
平面图是把现实的物体形状按一定的比例缩小绘制而成的。从平面图想象物体的实际形状相当于把图形放大，比例尺刻画了平面图和实际的物体形状之间的缩小和放大关系。本单元教材在图形放大与缩小的基础上教学比例尺，学生有比较好的认知背景，他们在理解比例尺知识的同时，形象思维也能得到很好的发展。
例6主要教学比例尺的意义和表示形式。教材创设了把长50米、宽30米的长方形草坪按比例缩小，画成长5厘米、宽3厘米的平面图的情境，唤醒学生头脑里图形缩小的知识经验。例题要求分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比。首先要识别图上距离和实际距离，懂得平面图上边的长度是图上距离，草坪上边的长度是实际距离。其次应理解要写出哪两个比，一个是平面图的长和草坪实际长的比，另一个是平面图的宽和草坪实际宽的比。然后要统一图上距离和实际距离的长度单位，使用相同的单位便于写比和化简比。有了这些思想准备，写比就顺利了。
统一图上距离和实际距离的长度单位，可以把实际距离50米改写成5000厘米，也可以把图上距离3厘米改写成0.03米。只要图上距离和实际距离的长度单位相同，都能写出比。但是，写出的都不是最简单的整数比，都要化简。通过交流，体会把实际距离改写成厘米作单位的数量，写出的是整数比，化简较方便；把图上距离改写成米作单位的数量，写出的是小数比，化简较麻烦。由此得到经验，通常应使用图上距离的长度单位来组成比。
例6的教学重点是比例尺的概念。教材指出，图上距离和实际距离的比叫作比例尺。由于学生已经两次写出这样的比，所以建立比例尺的概念是感性认识的抽象提升。教学应该强调两点：首先，比例尺是一个“比”，比的前项是图上距离，后项是实际距离。其次，比例尺应该是最简整数比，前项一般化简为1（本单元不涉及前项不是1的比例尺）。教材讲解比例尺的意义时，还用数量关系式表示比例尺的含义和计算方法，同时出现“图上距离∶实际距离＝比例尺”和“图上距离/实际距离＝比例尺”两种形式的式子。学生可以根据这两个数量关系式理解和记忆比例尺的意义，并根据这两个关系式求平面图的比例尺。
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比例尺除了写成比的形式，还经常用线段的形式表示，就是平常说的“线段比例尺”。一般来说，写成比的比例尺（下面称为数值比例尺）容易表达图上距离和实际距离的倍数关系，即图上距离是实际距离的几分之一，实际距离是图上距离的几倍。画成线段的比例尺以“平面图上1厘米的长度表示实际距离若干米（或千米）”的形式出现，能直观地表示图上距离和实际距离的关系。
教材从数值比例尺1∶1000引出线段比例尺，先解释这个比例尺表示的意思，要学生说出图上距离是实际距离的1/1000，实际距离是图上距离的1000倍，消化对比例尺1∶1000的认识。然后从图上距离和实际距离的倍数关系，得出图上距离1厘米表示实际距离10米（1000厘米＝10米）。如果用线段表示这个比例尺，就是图上长1厘米的线段表示实际距离10米，图上长2厘米的线段表示实际距离20米，图上长3厘米的线段表示实际距离30米??这就是线段比例尺。
两种形式的比例尺是相通的，可以互相转化。“练一练”第1题的每一幅平面图上都有两种形式的比例尺，让学生分别解释数值比例尺和线段比例尺的具体含义，能体会它们的内在联系，感受它们的相互转化。如根据比例尺1∶2200000可以知道图上距离1厘米表示实际距离2200000厘米（22千米），就能画出线段比例尺；根据线段比例尺图上距离1厘米表示实际距离15米（1500厘米），写成数值比例尺就是1∶1500。第2题中，荷花村到杏树村的实际距离是15千米，图上距离是3厘米。如果写出数值比例尺是3∶1500000，化简为1∶500000；如果画线段比例尺是图上距离1厘米表示实际距离5千米。
（七） 应用比例尺的意义，灵活解决求图上距离和求实际距离的问题 根据平面图的比例尺，可以把图上距离换算成实际距离，也可以把实际距离换算成图上距离。虽然这两种换算的方向相反，却都要遵循比例尺的意义。例7已知图上距离，求实际距离，教学换算的原理；“试一试”已知实际距离，求图上距离，引导学生创造性地应用换算的方法。教材的编排，既体现了教对学的主导作用，也体现了学的主体地位。
例7呈现一幅表示明华小学、少年宫、体育馆相互位置关系的平面图，比例尺是1∶8000。已知明华小学到少年宫的图上距离是5厘米，求实际距离是多少米。进行图上距离和实际距离的换算，关键在理解比例尺的具体含义。根据给出的比例尺1∶8000，学生中会有不同的思考。有人像“萝卜”卡通那样想到实际距离是图上距离的8000倍，于是用5×8000计算实际距离。有人会像“蘑菇”卡通那样想到图上1厘米表示实际距离8000厘米（80米），图上5厘米表示实际距离5个80米，于是列算式5×80求实际距离。出现多种思考和解法，表明学生正确理解了比例尺的意义，能灵活应用比例尺概念。
例题的重点是帮助学生列出比例式，用解比例的方法解决问题。列比例式的依据是比例尺的意义，在数量关系式“图上距离/实际距离＝比例尺”的上面，图上距离是
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5厘米，比例尺是1/8000。如果设实际距离为厘米，就能列出一个含有未知数的比例，通过解比例也能得到实际距离。教材编排这种解法，给学生多一次理解和应用比例尺意义的机会，多一种求实际距离的方法。教学这种解法，要注意设句里实际距离的长度单位，这个单位必须和图上距离的单位相同。
“玉米”卡通提出“明华小学到体育馆的实际距离是多少？量一量、算一算”，让学生独立解决根据图上距离求实际距离的问题。教学要帮助学生明白，利用平面图及其比例尺，求实际距离，图上距离可以量得，实际距离需要算出，比例尺是解决问题的“钥匙”。
“试一试”仍旧利用例题的平面图呈现问题，要求学生根据“医院在明华小学的正北方向，它们之间的实际距离是240米”，算出明华小学到医院的图上距离，并在平面图中表示出医院的位置。完成这项任务，首先要算出医院和明华小学的图上距离。学生可以在多种解法里选择自己喜欢的算法，用类似例7的想法，解决求图上距离的问题。在平面图上表示医院所在的位置，还要联系方向知识，先找到明华小学的正北方向。教学要指导学生，根据得到的图上距离，在学校正北方向3厘米处做一个记号表示医院，并且在学校与医院之间连一条线段。学生在这次“试一试”里，能初步感受画平面图的主要工作：找到合适的比例尺、计算有关的图上距离、确定方向等，为以后制作简单的平面图作了准备。
练习八配合例6和例7的教学，内容大致安排成三块：第一块是第1、2两题，求平面图的比例尺，有的要求表示成数值比例尺，有的要求表示成线段比例尺，都能巩固比例尺的概念。第二块是第4、5两题，分别是求实际距离和求图上距离的问题，帮助学生进一步掌握比例尺的知识，提高解决简单问题的能力。第三块是第6～9题，整理并应用比例尺的知识。其中第6题的表格里要求分别填写比例尺、实际距离和图上距离，综合了有关比例尺的全部知识内容，有利于学生形成比较完整的认知结构；第7题在平面图的问题里，添加了常用数量关系和时间的知识，综合性较强。第8、9两题是简单的实践活动，要求在地图上量量、算算，或制作简单的平面图，都在实际应用比例尺的知识，能培养实践能力。
【探索规律面积的变化】
学生在《比例》这个单元里，初步知道图形放大或缩小时，形状没有改变，所有边的长度都按相同的比变化。事实上，图形放大，它的面积变大了；图形缩小，它的面积变小了。本次探索规律，专题研究图形放大后，它的面积是怎样变化的。通过图形放大，它面积变化的倍数和边长变化的倍数不同，进一步加强图形放大的概念。也为计算放大后图形的面积，找到一种方便的算法。
教材分四段编写：提出问题——探索实践——总结规律——回顾反思。 （一） 提出问题这一段，重点引导学生弄清要研究什么
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