成的两个圆柱，一个的底面小一些、高一些，另一个的底面大一些、矮一些。估计哪一个的体积比较大，其实是猜一猜哪个的体积大。猜对和猜错，都要通过计算体积来验证。第10～16题是一个层次，主要帮助学生综合应用圆柱表面积和体积的知识。要整理表面积和体积的概念与算法，在求异的时候也要关注求同。求同往往能形成比较上位的认识，求异有助于区分下位的知识。以往的教学比较重视比“异”，疏忽比“同”，这里说说求同。如长方体和圆柱的表面积都是它所有面的面积总和，计算表面积要把各个面的面积相加；长方体和圆柱的体积都是它所占空间的大小，计算体积都可用底面积乘高。再如计算长方体、圆柱的表面积或体积，都需要知道高和有关底面的条件。底面周长乘高得到侧面积，底面积乘高得到体积??要辨别所解决的实际问题与物体的表面积有关还是与体积有关，应用相应的知识去解答。要灵活应用体积公式，在求物体的体积时，可以按公式列出算式；在已知物体的体积，求它的高（或底面积）时，可以按公式列出方程。
练习三的后面是“动手做”，要求测量土豆的体积。土豆的形状不规则，求它的体积没有现成的计算公式。教材设计了利用圆柱形容器测量土豆体积的方法：先准备材料——圆柱形容器1个，土豆1个；讲解测量方法——在容器里放适量的水，把土豆浸没在水中，测量并记录相关的数据，算出土豆的体积。并且提供一张表格，提示应该记录容器的底面积、放入土豆前的水面高度、放入土豆后的水面高度以及算出的土豆体积。然后是测量与计算，一边操作一边思考应注意什么。如，容器底面积不能直接量得，只能测量底面的半径、直径或周长。测量半径需要确定圆心，测量周长还要计算直径，一般测量直径，既容易量，也便于算。又如，测量底面直径、水面高度都要在容器里面进行，利用容器里面的数据，算出的才是水的体积、土豆的体积。教学应在适当时候组织学生反思这次测量活动，体会其中的“转化”策略：把形状不规则的土豆体积，转化成形状规则的圆柱体积，通过计算圆柱体积，得到土豆的体积。
例5教学圆锥的体积，教学思路也是先猜想再验证。教材首先出示底面积相等，高也相等的圆柱和圆锥各一个，涂色表示它们的底面相等，用两条平行的虚线表示高相等。要求学生估计这个圆锥的体积会是圆柱的几分之几，引导他们利用圆柱的体积求圆锥的体积。这里的估计是形成一个猜想，如果等底（面积）等高的圆柱和圆锥的体积之间存在确定的倍数关系，就可以利用圆柱的体积计算圆锥的体积。学生不一定估计圆锥的体积是圆柱的三分之一。不过，这并不要紧，后面的实验会得出这个关系。只要形成圆锥体积与等底（面积）等高圆柱体积有关的心向，就能支持后面的操作验证。
例题把验证活动分成三步进行。第一步选择实验器具：等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个。图示的方法里，把圆锥形容器放到圆柱形容器的上面，容易比出底面积是否相等。把圆柱形容器和圆锥形容器靠近着放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步倒沙实验：在圆锥形容器里装满沙子，倒入圆柱形容器。从“3次正好倒满”这个事实，证实圆柱形容器的容积是等底等高圆锥形容器的3倍，也就是圆锥形容器的容积是等底等高圆柱形容器的1/3。第三步推导圆锥的体积计算公式：如果不考
11
虑容器壁的厚度，圆锥容器里装满的沙子的体积可以看作圆锥的体积，圆柱容器里装满的沙子的体积可以看作圆柱的体积。从实验的结果先得出等底等高圆锥和圆柱的体积关系：圆锥的体积＝圆柱的体积×1/3；再把圆柱的体积计算方法代入关系式，得出圆锥体积计算公式：底面积×高×1/3。
教材很重视引导学生体验数学思想和积累数学活动经验，在得出圆锥体积公式以后，要求他们回顾圆锥体积公式的探索过程。要让学生说说自己的体会。整理学生的交流，应该突出两点：一是“转化”策略，圆锥体积可以转化成圆柱体积来计算，新知识可以转化成旧知识来认识。二是实现转化可以通过猜想、验证来落实，猜想圆锥体积与圆柱体积有关，并验证这种关系确实存在，就实现了圆锥体积到圆柱体积的转化。
“练一练”加强对等底等高圆锥与圆柱的体积关系的把握。第1题先是已知圆柱体积求等底等高的圆锥体积，再是已知圆锥体积求等底等高的圆柱体积，让学生充分利用圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3，圆柱体积是圆锥的3倍这两个结论，加强对这种关系的理解和把握。在此基础上完成第2题，学生求圆锥体积就不会忘记“×1/3”了。
练习四第5题要求把等底等高的圆柱体积和圆锥体积相互转化，从已知的圆柱体积得出相应的圆锥体积，从已知的圆锥体积得出相应的圆柱体积，继续加强对等底等高圆柱和圆锥体积关系的理解。第6题根据图示的各个立体图形的底面直径与高，寻找与圆锥体积相等的圆柱，其中的推理稍有难度。可以从圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3，推理出体积相等的圆柱与圆锥，如果底面积相等，圆锥的高是圆柱的3倍圆柱的高是圆锥的1/3；如果高相等，圆锥的底面积是圆柱的3倍圆柱的底面积是圆锥的1/3。还要注意到，大圆的直径是小圆的3倍小圆直径是大圆的1/3，大圆的面积则是小圆的9倍小圆的面积是大圆的1/9。
过去的教学告诉我们，这一单元的计算比较繁琐，学生经常会算错。对此提出三点建议：一是营造良好的计算环境。每次作业的题量不宜过多，给学生的时间要充分，心理压力小些能减少计算错误。二是较复杂的计算可以使用计算器。通常情况是，三位数乘一位数、三位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的乘法应该用计算器算。没有必要让学生进行繁琐的四则运算，消耗时间和精力。三是指导简便运算。在半径的长度数是5、15、25，高的长度数是2、4、8时，往往可以利用乘法运算律使计算简便些。要善于发现、及时利用可以简便计算的机会。四是鼓励用含有π的式子作为计算的最后结果。
（四） 单元整理与练习里，加强“探索与实践”栏目的设计编排
本单元的整理与练习仍然按“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践”“评价与反思”四个栏目编写。这里着重说说“探索与实践”栏目的习题。
12
第12题探索一个规律。有两个圆柱形容器，它们的高相等，底面半径的比是1∶2，问它们的体积比是几比几。这道题有培养推理能力的作用。学生中可能有两个水平的推理：一种水平的推理比较具体，可以假设两个容器的高都是10厘米，一个容器的底面半径1厘米，另一个容器的底面半径2厘米，就能算出这两个容器的体积分别是10π立方厘米和40π立方厘米，由此得到它们的体积比是1∶4。另一种水平的推理较抽象，由于两个容器的高相等，所以它们的体积比决定于它们底面积的比。两个容器的底面半径的比为1∶2，底面积的比应该是1∶4，由此得到体积比是1∶4。这道题在教学正比例和反比例以后，还可以如下推理：圆柱体积/底面积=高（一定），圆柱体积和底面积成正比例。底面半径乘2（除以2），底面面积乘4（除以4），体积也乘4（除以4）。所以两个容器的体积比是1∶4。要根据学生的年龄特征来选择如何推理。对大多数学生而言，采用前一水平的推理比较适当，后一水平的推理，只会有少数学生适应。
第1/3题是实践操作题。要求任选一个圆柱形饮料罐，计算它的容积。计算圆柱容器的容积，需要哪些长度？如何测量这些长度？都由学生拿主张。算出的容积应该比饮料罐商标纸上标出的“净含量”稍大一些，否则饮料罐里装的饮料不会达到净含量。
第14题是制作实验题。要求选一张长方形纸，用它卷成两个大小不同的圆柱。其中一个圆柱的底面周长是长方形纸的长，高是长方形纸的宽；另一个圆柱的底面周长是长方形纸的宽，高是长方形纸的长。要回答的问题是“怎样卷，圆柱的体积比较大？”解决这个问题可以假设长方形纸长10厘米、宽6厘米，一种卷法形成的圆柱体积大约15.36π（底面周长10厘米，半径1.6厘米，底面积2.56π平方厘米）；另一种卷法形成的圆柱体积大约10π（底面周长6厘米，半径1厘米，底面积π平方厘米），怎样卷体积大就很清楚了。这道题能发展空间观念。学生识别长方形的长、宽和圆柱的底面周长、高之间的对应关系，需要动手操作，用一张长方形纸卷一卷、看一看。
【第三单元解决问题的策略】
从三年级上册起，每一册教科书里都教学一种策略，依次是分析量关系的“从条件向问题推理”和“从问题向条件推理”，帮助理解题意的“列表整理”和“画图整理”，还有“枚举”“转化”“假设与替换”等策略。本单元没有安排新的策略，只是应用前面教学的策略，解决稍复杂的问题。目的是让学生进一步体会策略在解决新颖问题、复杂问题时的作用，体会解决同一个问题的方法多样、策略灵活，体会各种策略之间的相互配合、相互补充。全单元编排两道例题，具体安排见下表：
例1 把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样 例2 通过假设和调整解决问题，体会假设与调整可以多样
13
心理学研究人们是怎样解决数学问题的，发现经常是“模式识别——问题转化——模型还原”的过程。解题者在感知数学问题、理解题意时，经常会想“这是什么问题？”通过辨别问题的类型，力求与自己头脑里储存的范例、模型发生某种联系，从而利用已有的知识经验，很快找到解决问题的途径与方法。这就是所谓的“模式识别”。有很多时候，解题者遇到的问题与头脑里储存的范例、模型很不一致，难以检索到可以直接用来解题的思路与方法。面对陌生的、新颖的问题，需要把它适当转化，使转化后的问题便于检索、能够解答。这就是所谓的“问题转化”，是十分重要的解决问题策略。数学问题最终要利用检索到的数学模型来解决，转化后的问题的答案是不是适合原来的问题，需要将解题的结果放到原问题的情境中进行检验，作出确认或否定。像这样把转化获得的数学模型还原到原来的问题情境中，就是所谓的“模型还原”。
回顾前面的解决问题教学，学生在学习基本思路“条件向问题推理”“问题向条件推理”时，解答过许多两步计算的实际问题；在学习列表整理、画图整理时，也解答过一些两、三步计算的实际问题；在学习分数和百分数时，解答过大量的分数或百分数实际问题。应该说，在他们的认知结构里储存了较多的问题范例，以及这些问题的解法模型。他们在学习转化策略、假设策略时，初步体会了转化、假设的思想与方法，还进行过一些转化或假设的活动。现在，可以通过“模式识别”顺利解决认识的问题，可以通过“问题转化”解决不熟悉的问题，可以通过“模型还原”解题并检验结果，他们解决问题的资源已经相当丰富。本单元让学生利用已有资源继续解决实际问题，进一步提升思维水平，提高解决问题的能力。
教学解决问题的策略，一般有两大类内容：一类是传递新知识、新思想、新方法，通过新的内容提高解决问题的能力。另一类是应用已有的解决问题的知识经验、思想方法，加强对策略的体验和方法的领悟，从深刻性、灵活性、综合性上提高解决问题的能力。本单元的编排，体现了后一类的策略教学。
（一） 分析某个分数的意义，联系不同的知识，作出不同的推理，给出不同的解法，体会策略和方法的多样性
例1已知美术组一共有35人，男生人数是女生的2/3，求美术组的男、女生各有多少人。这是一个稍复杂的分数问题，大多数学生应该具有解决问题的经验和能力。
教材引导学生“根据题意分析数量关系，想一想可以怎样解答”。题目里只有两个已知数量，分析数量关系的切入口应该是“男生人数是女生的2/3”。根据2/3这个分数的意义，可以画线段图，看出男生人数是美术组总人数的2/5。原来的问题就转化成美术组一共有35人，男生人数是总人数的2/5，女生人数是总人数的3/5，男生有多少人？女生有多少人？这是简单的求一个数的几分之几是多少的问题。根据分数2/3的意义，可以推理出“男生人数和女生人数的比是2∶3”。原来问题就转化成美术组一共有3/5人，男生与女生人数的比是2∶3，男生、女生各有多少人？这是按比例分
14
配问题。学生很可能还有别的想法，如，根据分数2/3的意义，想到“女生人数看作3份，男生人数是2份”，于是产生解题思路：先算出1份是几人，再算2份、3份各是多少人。再如，把作为单位“1”的女生人数设为x，那么男生人数就是2/3x，利用美术组一共35人，能够列方程解题??
“选择一种方法列式解答”是经过“问题转化”以后的“模式识别”。利用已有的模型解决转化后的问题，也就是解答原来的问题。学生采用任何一种解法都可以，但不是要求他们“一题多解”。
“检验”十分重要，应把得数放到原来的问题情境里检验是否正确。即看一看得到的男、女生人数是不是一共35人，男生人数是不是相当于女生的2/3。如果得数能够同时满足这两个条件，就是原来问题的答案。否则，就不是原来问题的答案。
教学解决问题的策略，目光不能局限在列式解答以及求出得数上面，要重视策略的选择和使用。从大处讲，多数学生使用转化策略，把一个陌生的、较难的问题转化成熟悉的、会解答的问题，他们选择了相同的解决问题策略。从细处讲，根据“男生人数是女生的2/3”展开的推理不尽相同：喜欢形象思维的学生可以画线段图，善于抽象思维的学生可以多一些理性思考。学生之间，由于联系了不同的知识，对分数2/3就有不同的理解与解释，解题的思路和方法也随之不同。他们在应用转化策略时各有自己的主张。这就体现了转化策略在应用中既是广泛的，又是灵活的。教材要求学生说说“你选择了什么策略，是怎样想的”，希望他们在交流中获得这些体验。所以，组织学生交流，不能停留在怎样解答、算式怎样、结果对不对的上面，而要挖掘深层次的思考，说出为什么转化、怎样转化、联系了什么知识、应用了什么方法??通过相互理解和相互评价，体会方法的多样性。
还应该看到，解答例1时的转化，决定于对分数意义的理解与解释。如果概念准确，概念系统完善，从分数意义出发的推理就严密、流畅，转化也就顺利、有效。反之，如果分数概念模糊，分数和其他数学概念没有建立实质性联系，要想通过推理实现问题的转化将是很难的。为此，练习五第1题安排了分数与比的转化练习，要求学生根据示意图里的数量关系，写出分数，并转化成比。或者写出比，再转化成分数。这道题可以看作沟通数学概念之间联系，组建概念系统的练习，有助于问题的转化。教材提倡学生利用图形直观帮助联想，第2题根据已知的比或百分数，把线段图补充完整，要求借助线段图，把稍复杂的问题转化成简单的问题，探索原来问题的解法。在线段图上可以联想到的数学信息越多，思维就越开放，问题转化的思路会越开阔，解决问题的资源也就越充分。
（二） 解决同一个问题，提出几个不同的假设，采用几种不同的形式，体会策略和方法的多样性
例2的问题情境是42人正好坐满10只船，求大船和小船各有几只。这个问题的题意并不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般的分析数量关系的方法
15