教材先呈现一个小长方形和按比例放大后的大长方形，通过测量得到小长方形的长3厘米、宽1厘米，大长方形的长9厘米、宽3厘米。分别写出大长方形与小长方形长的比和宽的比，得出小长方形是按3∶1的比放大的。接着要求估计大长方形和小长方形面积的比是几比几，并分别算出两个长方形的面积，验证估计是否正确。学生观察大、小两个长方形，能够看出大长方形有9个小长方形那么大，估计它们的面积比是9∶1。如果利用两个长方形的长和宽，算出它们的面积，也能得到大、小长方形的面积比是9∶1。于是发现一个现象：长方形按3∶1的比放大，放大后长方形每条边的长度是原来长方形的3倍，面积却是原来长方形的9倍。简单些说，长方形按比例放大，边长变化的比和面积变化的比不同。由此联想“其他平面图形放大，面积的比又会怎样呢？”这就形成了新的研究课题。这一段教材组织学生联系熟悉的知识，开展熟悉的活动，从中发现和提出新的数学问题，接受和理解新的学习任务，以积极的心态参与探索规律的活动。
（二） 探索实践这一段，研究不同的平面图形按不同的比放大，放大后的面积是原来图形的几倍
像这样的举例研究是小学生能够进行的。如果研究的实例有较大的覆盖面，得出的结论会有较强的说服力。为此，教材呈现了正方形按3∶1放大、三角形按2∶1放大、圆按4∶1放大的过程，选择了三种不同的图形、三个不同的比，具有一定的代表性。让学生测量各个图形放大后与放大前有关对应边的长度，说出图形是按几比几放大的；算出各个图形放大后的面积和放大前的面积，得出放大后与放大前图形面积的比；把量出的长度，算出的面积、得出的比都填入教材的表格里，发现每个图形放大后与放大前的长度比不等于面积比，但却是有联系的两种比。
只要测量与计算不发生意外，能够得到正方形放大后与放大前的边长比3∶1，面积比9∶1；三角形放大后与放大前底（高）的长度比2∶1，面积比4∶1；圆放大后与放大前半径的长度比4∶1，面积比16∶1。这些实例证实了平面图形按比例放大，放大后与放大前的面积比和对应边的长度比是不一样的。这一段教材组织学生看图形、量长度、算面积、写出比，给了他们很大的活动空间，有利于他们用丰富的现实材料感受图形放大前、后面积的变化情况。
（三） 在总结规律这一段，要做三件事情：说说自己发现的规律，用含有字母的比表达面积的变化规律，放大平行四边形验证规律
表达图形面积的变化规律，需要对各种图形按不同的比放大，面积也随着变化的现象进行概括，把共同的特征用一种简便的形式表示出来。寻找面积变化的共同点，应比较每个图形放大后与放大前边长和面积的变化，看到正方形的边长按3∶1变化、面积按9∶1变化，三角形的底（高）按2∶1变化、面积按4∶1变化，圆的半径按4∶1变化、面积按16∶1变化。不难发现，面积变化的倍数是边长变化倍数的平方。这就是图形放大，面积随之变化规律。表达规律有多种形式，可以像“萝卜”卡通那
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样，列举“长度比是2∶1，面积比是4∶1；长度比是3∶1，面积比是9∶1；长度比是4∶1，面积比是16∶1??”可以像“辣椒”卡通那样，用比较概括的语言讲述规律“（长度比和面积比）两个比的后项都是1，面积比的前项是长度比前项的平方。”如果用含有字母的比n∶1（n是大于1的自然数，下同）表示图形的放大，那么放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。这也是一种表示形式。教材鼓励学生先用自己的话说说规律，加深对规律的认识，再用含有字母的比表示规律，提升数学化程度，发展符号意识。
从正方形、三角形、圆放大的实际例子中发现面积的变化规律，进行的是归纳推理。教材要求学生用平行四边形验证面积变化的规律，丰富对规律的感知，充实对规律的信心。可以引导他们在方格纸上任意画一个平行四边形，并把它按比例放大；分别测量放大后与放大前平行四边形的底和高，算出放大后与放大前平行四边形的面积；分别组成放大后与放大前的长度比和面积比，观察面积比与长度比之间是不是存在上面概括的规律。这些活动在前面已多次进行，学生有能力独立完成。想办法验证发现的规律，是探索规律过程中的重要一步，是科学精神、严谨态度的具体表现，应该得到重视和落实。
（四） 回顾探索规律的过程与方法，积累数学活动经验
可以组织学生说说发现了什么规律，是怎样发现的；列举了哪些例子，想想还能举出其他例子吗；长方体、正方体是否能按比例放大，体积比和长度比之间是否也有规律等等，只要帮助他们打开话题，应该有许多话要说。
【第五单元确定位置】
本单元教学用方向和距离确定物体所在的位置。
确定位置的教学很早就开始了。一年级用上下、左右、前后等方位词，表示物体之间的位置关系。如×在×的上面、×的右边是×。二年级用东、南、西、北，东南、东北、西南、西北等方向词描述物体所在的位置。如×的正北方有×，×在×的东北方向。这些表示和描述只是指出了物体的大致位置，不够准确。本单元继续教学确定位置，把方向和距离结合起来，准确地描述物体所在的位置。全单元编排三道例题，具体安排见下表：
例1 用方向和距离表示位置的知识
例2 在平面图上用方向和距离表示物体的位置 例3 描述行走的路线
从方向与距离两个方面确定物体所在的位置，要联系已有的认识方向的经验，教学一些新的方向词语；还要应用量角和画角、量线段和画线段的方法，以及比例尺的知识。由于涉及的知识技能比较多，教学可能会有一定难度。但学生能进一步了解方
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向、体会距离，有利于发展空间观念。他们综合应用数学知识、技能解决问题，相应的能力会有明显的提高。
（一） 在已有方向知识的基础上，教学新的确定位置方法
用方向和距离确定位置，包括方向的知识和距离的知识。例1确定位置的描述方式是“灯塔1在轮船的北偏东30°方向30千米处”。其中“北偏东30°”是灯塔1相对于轮船的方向，“30千米”是灯塔离轮船的距离。显然，“北偏东”是新的方向词语，像这样的词语还有北偏西、南偏东、南偏西。这些应该是例题的教学内容。“北偏东30°”是新的方向概念，它是什么意思？它怎么度量、怎么表示？也是例题的教学内容。“30千米”是灯塔1和轮船之间的实际距离，把它表示在平面图上需要应用比例尺的知识，虽然实际距离转化成图上距离是旧知识，却要和新方向知识结合起来应用，也是例题的教学内容。为此，例1把教学设计成四步进行，充分利用已经认识的东、南、西、北以及东南、东北、西南、西北等方向，逐步构建确定位置的新方法。
第一步，呈现一艘轮船向正北方向航行的示意图，要求说出图中的灯塔1和灯塔2分别在轮船的什么方向。学生联系二年级学习的方向知识，能说出“灯塔1在轮船的东北方向”“灯塔2在轮船的西北方向”。东北和西北，既是旧知识，也是新知识的生长点。所以说，这一步教学是回忆并激活有关的知识经验，把学生带进新知识的最近发展区。
第二步，教学“北偏东”“北偏西”两个表示方向的词语。教材指出：东北方向也叫作北偏东，西北方向也叫作北偏西。引出了描述方向的两个新词语。还有两个新词语“南偏东”“南偏西”在后面教学中陆续带出来。教学新方向词语要让学生仔细体会词语的含义：以前的东北、西南等方向以“东”和“西”为主，东面和北面之间称为东北，东面和南面之间是东南，西面和北面之间称为西北，西面和南面之间是西南。现在教学的方向词语以“北”和“南”为主，北面和东面之间称为北偏东，北面和西面之间是北偏西，南面和东面之间称为南偏东，南面和西面之间称为南偏西。
第三步，在轮船航行的示意图上，教学用方向和距离确定位置的方法。教材利用示意图展开学习活动：以轮船所在位置为观测点，灯塔1在轮船的北偏东多少度方向多少千米处？在图中看一看、算一算，并在教科书上填一填。
示意图上能直观看出，灯塔1在轮船的北偏东30°方向，根据示意图的线段比例尺能看到灯塔1离轮船30千米。于是形成“灯塔1在轮船的北偏东30°方向30千米处”的描述，这就是用方向和距离确定位置。
学生需要分三层理解“灯塔1在轮船的北偏东30°方向30千米处”的描述。首先是理解“北偏东30°”的含义。在示意图上能够看到，灯塔1与轮船的连线和轮船的正北方向夹30°角，即灯塔1的位置在轮船正北偏东30°的方向上。体会这里用角的
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度数刻画灯塔1所在方向是必要的，如果没有角的度数，只讲北偏东方向，灯塔1所在的方向仍然不够精确。其次是理解30千米的意思。平面图上使用的线段比例尺，图上1厘米表示实际距离10千米，轮船到灯塔1的图上距离是3厘米，两地间的实际距离应是30千米。体会这个“30千米”是轮船和灯塔1的实际距离，如果没有这个距离，灯塔1的位置也不够确定。然后是理解“北偏东30°方向30千米”，既明确了方向、又明确了距离，也就确定了物体的位置。
第四步，调整认知结构。“玉米”卡通提出问题“以前学过哪些确定位置的方法？现在又有了哪些新的认识？”引导学生回忆以前的方向知识、体会现在学习的确定位置的方法与以前的方法有联系，是以前方法的发展和综合，比以前的方法更准确。既把新知识建立在过去知识的基础上，又体验新知识“新在何处”，从而加强对新知识、新方法的理解。
“练一练”仍然联系轮船航行的示意图，要求在教科书上填写“灯塔2在轮船的北偏西55°方向40千米处”，重温用方向和距离确定物体所在位置的方法，起巩固例1所教学知识的作用。
（二） 根据给定的方向和距离，在平面图上确定物体所在的位置
例2呈现的平面图上，给出了黎明岛的东、南、西、北四个方向，以及平面图的比例尺。要求在图上表示黎明岛北偏东40°方向20千米处的清凉岛的位置。这是一次画图技能的教学。
在图上画出清凉岛的位置，首先要理解“北偏东40°方向20千米”的含义，识别其中的方向内容和距离内容。其次要用量角器画40°的角，根据比例尺把实际距离换算成图上距离，还要画2厘米长的线段表示实际距离20千米。学生已经学过这些知识和方法，应该有能力完成画图任务。
这次画图涉及许多数学内容，关键是要安排好画图的步骤。为此，教材要求学生思考画法并在小组里交流。这是很重要的一步教学环节，直接关系到能不能顺利画出清凉岛的位置。
画图分两段进行：先确定清凉岛所在的方向——找到黎明岛的北偏东方向，画出北偏东40°的角，黎明岛就在角的一条边上。再确定清凉岛所在的距离——平面图的比例尺是图上1厘米表示实际距离10千米，清凉岛离黎明岛的实际距离是20千米，图上距离应该是2厘米。按这样的步骤不仅能画出清凉岛的位置，还能体会用方向和距离确定物体的位置既合理又严密。课堂上要关注学生用量角器画40°角的方法，量角器的中心应该和表示黎明岛的点重合，0°刻度线应该和表示正北方向的射线重合，40°刻度线应该在黎明岛北偏东的方向上。
另外，还应给学生三点画图指导：一是北偏东的射线要画得轻些、细些，只要自己能看到就行；二是射线上找到清凉岛的位置，可以用一个圆点表示，圆点要画得清
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楚，并在旁边标注“清凉岛”；三是把黎明岛和清凉岛之间的线段适当描粗些，并且每1厘米一段，分成两段，便于看出图上距离和实际距离各是多少。
配合例2的“练一练”也要求画图，让学生初步学会用方向和距离确定位置的方法。仍然在例2的平面图上，按“南偏西30°方向30千米”表示出红枫岛的位置。教学应注意，例2里的“北偏东”已经在例1里教过，学生已经理解这个方向词语。“练一练”里的“南偏西”是第一次出现，要让学生解释这个方向词语，正确理解其意思。另外在动手画图前，还可以组织学生说说“在平面图上用方向和距离确定位置”的方法与步骤，既作为例2学习的回顾反思，又作为“练一练”的思想准备。
（三） 应用确定位置的知识，描述行走的路线
例3呈现了李伟家附近部分街道的平面图，要求学生说说李伟从家到大港小学的行走路线，在现实情境中应用确定位置的知识。
李伟上学的路线是三条或多条线段连成的折线。首先要明白怎样说——依次说出从家出发向什么方向走到哪里，再朝什么方向走到哪里??最后朝什么方向走到学校。然后放手学生说说李伟上学行走的路线，并在小组里交流。由于李伟是沿着街道行走的，平面图没有给出各街道与正北方向的夹角，也没有给出各街道的长度，只能用以前学习的或者刚刚学习的方向词语描述行走的方向与路线。四个小卡通的交流虽然说法各不相同，却都是应用东、北、东北、北偏东等词语的描述。
放学回家的行走路线与上学的路线刚好相反，不仅行走的方向相反，而且途经的标志性建筑的出现次序也相反。说说回家路线有利于对知识、技能的理解和掌握。另外，从上学路线到回家路线也渗透了“倒推”的思想方法，是解决问题的一种策略。
练习九是全单元的练习。第1、2、3题配合例1的教学，巩固例1所教的方向知识。第1题的雷达屏幕里，以机场为顶点的周角被12等份，每个角都是30°。以机场为圆心画了几个同心圆，每两个相邻圆之间的距离表示10千米。这样，在图上用方向和距离表示飞机所在位置就很方便了。题目通过“飞机A在北偏东30°方向30千米处”，帮助学生读懂雷达屏幕的示意图，通过在示意图上分别表示飞机B、C、D、E的位置，练习用方向和距离确定位置的方法。第3题在地图上看看“（学生自己）所居住的地区在北京的什么方向”。题目以“南京在北京的南偏东方向”示范了该怎样说：一是确定自己居住地所处位置，以通过北京的“南北”纵线为标准，可以在地图上画出这条纵线，或者把这条纵线想在头脑里。二是只要说出自己居住地与北京的相对方向，不要说出距离。
第5、6题配合例2的教学，都是要求在平面图上表示物体所在的位置。第8、9题配合例3的教学，从题目里可以看到，需要描述的路线不是很长。因为太长的路线只是方向在频繁变化，学生会感到繁琐，也会失去练习的兴趣。这两题只用方向词语描述行走的路线，难度不大，而且与日常生活很贴近。
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