派不上用场。教材问学生“解决这个问题，你准备用什么策略”，不要求说出解题思路和算法，而是鼓励他们从已经学过的列表、画图、枚举、假设和转化策略里自主选择解题方法。正像“辣椒”卡通的画图、“萝卜”卡通的列举、“番茄”卡通的假设那样，每个学生都要有自己的选择，班集体里就会呈现策略多样化。
无论用哪种策略解决问题，大船和小船一共10只是不能改变的。“辣椒”卡通画了10只大船，每只船上的5个圆表示坐5人，这些船上一共可以坐50人，比实际多了8人。于是，从一只船上去掉2人，把这只大船换成小船；又从另一只船上去掉2人，也用小船替换大船??像这样替换4次，6只大船和4只小船一共乘42人，得到了问题的答案。“萝卜”卡通的想法是，租船方案可能是1只小船和9只大船、2只小船和8只大船??哪一种方案刚好坐42人，就是问题的答案。于是把各种租船可能，有次序地列举在一张表格里，分别计算每一种方案坐的人数，与42人比对，逐渐找到问题的答案。“番茄”卡通假设大船和小船都是5只，算出这些船一共可以坐40人，而40人比全班人数少2人，于是想办法调整大、小船的只数。只要学生有主动解决问题的积极性，班级里一定会有更多的解题形式、更多的假设与验证。
提出的假设（或猜想）必须检验，看10只船上是不是正好坐42人。提出的第一个假设往往不是问题的答案，船上的总人数不是比42人多，就是比42人少，需要调整大、小船的只数。教材把替换留给学生进行，一方面培养检验假设的意识，另一方面体会替换的方向与方法。如果10只船上的总人数比42人多，表明大船多了、小船少了，要用小船替换大船；如果10只船上的总人数比42人少，表明大船少了、小船多了，要用大船替换小船。替换时，可以一只一只地调整，用1只小船替换1只大船，或者用1只大船替换1只小船，并且及时检验，逐步逼近正确的结果。也可以一下子用2只或几只小船（大船）替换2只或几只大船（小船），加快调整的速度。如果假设的大、小船上乘坐的人数接近42人，可以一只一只地调整；如果假设的船上人数与42人相差较大，可以每几只一调。
解答例2采用的策略具有多样性、灵活性和综合性。多样性表现为解决同一个问题，有人画图、有人列表，有人枚举、有人猜想??都能形成思路；灵活性表现为可以有不同的假设起点，就像假设10只大船、假设1只小船和9只大船、假设5只小船和5只大船??还可以提出其他的假设，都能通过适当的调整得到正确的结果。综合性表现为解题以假设策略为主，还需要其他策略的配合。把假设策略用画图形式表现，便于直观地进行调整；把假设策略用列表形式表现，能看清检验与调整的过程，更便于寻找正确答案。
例2没有列式计算，主要是两个原因：一是解决问题未必都要列式计算，画图和列表也是解题的方法和形式。教学应该鼓励解题形式多样，发展学生的个性和创造性。二是解答这道题的算式比较难列，算式蕴含的算理比较复杂。如果列式计算，不仅增加了教学的困难，还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。
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【第四单元比例】
本单元的教学内容是：图形的放大与缩小，比例的意义与性质。两个内容分别属于两个知识领域，前者是图形与几何的内容，后者是数与代数的内容。在一个单元里同时教学两个领域的知识，这样的教材很少遇到。本单元把图形的放大与缩小、比例的意义与性质结合起来教学，是因为这两个内容能够互相利用、互相支持。图形放大或缩小的过程中，大小变了，但形状与结构都保持不变，比例能够准确地揭示图形放大或缩小的本质特征，帮助学生建立图形放大与缩小的正确概念。比例是表示两个比相等的式子，这个相当抽象的数学概念和图形的放大或缩小联系起来，就有了具体的含义，图形的放大、缩小有助于学生形成比例的概念。全单元编排七道例题，具体安排见下表：
例1、例2 图形放大与缩小的含义 在方格纸上把图形放大或缩小 例3 比例的意义 例4 比例的性质 例5 解比例
例6、例7 比例尺的意义 比例尺的实际应用
从表格里可以看到，图形放大与缩小、比例的意义，这两个知识的教学靠得很近，能充分发挥它们互相利用、互相支持的作用。把比例的性质和解比例结合起来教学，能及时应用比例的基本性质，并且解决有关的实际问题。把比例尺及其应用编排在本单元教学，是因为它和图形的放大与缩小有联系，和比例也有联系。如果把一片地面看作一个图形，那么从地面到它的平面图相当于图形的缩小，从平面图到它对应的地面相当于图形的放大。
比例的意义和性质一直是小学数学的重要内容，已经积累了许多教学经验。图形的放大与缩小是本世纪进入小学数学的内容，它的教学方法需要教材和教师共同创新。
（一） 选择有利于形成正确概念的实例，教学图形放大与缩小
数学里图形放大与缩小的含义，和生活中的放大、缩小不是完全相同的。生活中往往把图形由小变大视作放大，由大变小视作缩小。数学里的图形放大与缩小，它的每一条边都按相同的比变化，即所有边的长度都放大到原来的几倍或者缩小到原来的几分之一。所以，教学图形的放大与缩小，必须选择数学含义鲜明的素材，使学生形成正确的、图形放大与缩小的概念。
例1教学图形放大、缩小的含义，呈现在电脑上放大长方形图片的现象。给出的第一幅照片是放大前的长方形（长8厘米、宽5厘米），第二幅照片是放大后的长方
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形（长16厘米、宽10厘米）。先利用给出的数据，分别研究长方形放大后与放大前长的关系、宽的关系，从“倍”的角度和“比”的角度，描述图形的变化。然后联系长方形放大的事实，揭示图形放大的含义。教材依次讲了三句话：第一句是“长方形的每条边放大到原来的2倍”，这是对长放大到原来的2倍，宽也放大到原来2倍的概括。第二句是“放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2∶1”，用比描述图形放大时边的长度变化。这里把放大前、后两个长方形的长称为对应边，宽也称为对应边，必须把放大后图形的边的长度作为比的前项，原来图形的边的长度作为比的后项。第三句是“把原来的长方形按2∶1放大”，让学生体会由于放大后与放大前两个长方形对应边的长度关系是2∶1，因而把这样的图形放大说成2∶1，示范了规范表达图形放大的语言。从教材讲述长方形放大的数学含义，可以看到概念的关键是图形变化后与变化前对应边的长度比。所以，安排学生研究两张照片的“长有什么关系”“宽有什么关系”时，要提示他们说出第二张照片的长和宽分别是第一张照片的几倍，写出第二张照片和第一张照片长的比、宽的比。不要鼓励学生把第一张照片的长度和第二张照片比，以免对新概念产生干扰。
关于图形缩小的概念，在初步认识图形放大的基础上，引导学生进行迁移，主动体会图形缩小的含义。通过回答“豆荚”卡通的问题“如果要把原来的图形按1∶2缩小，长和宽应该是原来的几分之几？各是多少厘米？”，理解图形按1∶2缩小，缩小后长方形的长是原来长方形长的1/2，缩小后长方形的宽也是原来长方形宽的1/2，初步形成图形缩小的概念。
例题先教学图形放大的含义，再教学图形缩小的含义。课堂上还要把图形的放大与缩小综合起来，帮助学生形成完整的图形变化的认识。可以让他们比一比，图形按2∶1放大和图形按1∶2缩小的含义，理解图形放大与图形缩小在概念上的不同。可以让他们比一比，表示图形放大的2∶1和表示图形缩小的1∶2，理解两个比的前项都是变化后图形的长度，后项都是变化前图形的长度。比的前项大于后项，表示图形放大；比的前项小于后项，表示图形缩小。
图形放大或缩小，必须是每一条边的长度都按相同的比变化。练习六第1题为加强图形放大、缩小的概念而设计。方格纸上的图形①长6格、宽2格，图形②长3格、宽2格，图形②的长和图形①的长的比是1∶2，宽的比是1∶1，两个比不相同，图形②不是图形①缩小后的图形。图形③长3格、宽1格，图形③的长和图形①的长的比是1∶2，宽的比也是1∶2，图形③是图形①缩小后的图形。同样的原因，图形④不是图形①缩小后的图形。图形⑤的长9格、宽3格，图形⑤的长和图形①的长的比是3∶2，宽的比也是3∶2，图形⑤是图形①放大后的图形。
（二） 画出一个图形放大或缩小后的图形，进一步体会图形放大与缩小的含义 例2要求在方格纸上画出一个长方形按3∶1放大后的图形以及按1∶2缩小后的图形。画图前需要理解3∶1和1∶2的含义，从两个比得出长方形长、宽的长度变
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化，这就加强了图形放大、缩小的概念。“利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大和缩小”是课程标准的要求，因为方格纸上能直观显示每条边的变化情况，操作比较方便。例题问“放大后的图形长和宽各是几格？缩小后的图形呢？”引导学生先理解表示图形放大和缩小的比的含义，确定放大（缩小）后图形的长与宽，再画出放大（缩小）的图形。教学这道例题，要把力量放在放大、缩小后图形长多少、宽多少上，让学生说说自己的思考，实现例题的编写意图。观察原来的长方形、放大后的长方形、缩小后的长方形三个图形，发现它们的大小不同，形状相同。要再次体会图形放大或缩小，所有边的长度都按相同的比变化。
“试一试”要求在方格纸上画出一个直角三角形按2∶1放大后的图形。原来三角形的两条直角边分别长4格和1格。通常的画法是先画出放大后三角形的两条直角边，一条长是8格，另一条长是2格，然后连线围成一个三角形。教材要求学生量一量放大后与放大前三角形斜边的长度，引导他们发现放大后的斜边长度也是放大前斜边长度的2倍，再一次体会图形放大，它所有边的长度都按相同的比变化。
练习六第2题，要求先按2∶1的比画出给定正方形放大后的图形，再按1∶2的比画出给定长方形缩小后的图形。这道题除了画图以外，还有两点可以利用：一点是比较2∶1与1∶2这两个比，进一步体验图形按2∶1放大和按1∶2缩小的含义。另一点是分别比较正方形与它放大后的图形、长方形与它缩小后的图形，从正方形放大后仍然是正方形，长方形缩小后仍然是长方形，体验图形放大、缩小，只改变其大小，不改变其形状。
（三） 以图形放大与缩小为素材，教学比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。教学比例的意义，要找到比值相等的比，而且把两个比值相等的比写成等式。教材联系图形放大与缩小教学比例的概念，写出的比以及比值有现实的含义，两个比组成的等式有具体意思可以解释。在现实背景下，学生理解比例的意义能够容易一些、深刻一些。
例3呈现把一张长方形照片放大的情景，分别给出了放大前长6.4厘米、宽4厘米，放大后长9.6厘米、宽6厘米这两组条件。根据图形放大的含义，学生能写出长方形照片放大后与放大前长的比、宽的比，知道这两个比的比值相等。例题没有要求他们写已经熟悉的比，而是写出每张照片长和宽的比。由于学生对每张照片长和宽的比不太了解，所以有研究这两个比，理解含义和发现比值相等的活动空间。他们会像三个小卡通那样，分别写出照片放大前长和宽的比6.4∶4，照片放大后长与宽的比9.6∶6；算出这两个比的比值，发现两个比的比值相等，都是1.6；理解比值1.6表示照片的长是宽的1.6倍，体会到长方形照片放大，它的长与宽的比的比值不变。这些都是对图形放大的新认识，也是学习比例意义的可用资源。
上面写出的两个比的比值都是1.6，表示两个比相等。教材说：“这两个比可以写成等式6.4∶4＝9.6∶6或者写成6.4/4＝9.6/6”，指出“表示两个比相等的式子叫作
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比例”，突出比例是两个比值相等的比组成的等式。这一段教学是例题的重点，学生从两个相等的比写成等式，明白这样的等式是比例，意义建构了比例的概念。
接着，教材要求分别写出照片放大后与放大前长的比和宽的比，这是学生很熟悉的比，还知道这两个比相等。联系刚学习的比例意义，作出这两个比能够组成比例的判断，并且写出组成的比例，这就消化了比例的意义，内化了比例的概念。“练一练”第1题给出四组比，如果同组两个比的比值相等，就可以组成比例；如果同组两个比的比值不相等，就不能组成比例。让学生进行这些判断，也是为了巩固比例的概念。
除了图形放大与缩小，常见的数量关系中也能找到比例。“练一练”第2题，所有商品一律八折出售，任意一件商品现价与原价的比的比值都是0.8，利用给出的四件商品的原价与现价，能够组成比例。题目要求“从中选择两组数据，组成一个比例”，应该理解“两组数据”在这里指的是什么，体会每一件商品的原价与现价就是“一组数据”，两件商品的原价与其对应的现价就是“两组数据”。练习六第3题，一辆汽车上午行驶的路程和时间的比与下午行驶的路程和时间的比，能够组成比例。因为上午与下午行驶的速度相等。上午和下午行驶的路程比与上午和下午行驶的时间比，也能组成比例。因为上午行驶路程是下午行驶路程的倍数，与上午行驶时间是下午行驶时间的倍数相等。第6题，行驶的路程与时间的比，在速度相等的前提下，能够组成比例；铅笔总价和数量的比，在单价相等时能组成比例。正方形周长和边长的比一定能组成比例，因为比值总是4（四条同样长的边）。正方形面积和边长的比一定不能组成比例，因为两个边长不同的正方形，面积与边长的比不相等。教材联系常见的数量关系认识比例，以丰富的素材，加强对比例的理解，也为以后教学正比例作些铺垫。
练习六的后面编排一次“动手做”。先观察两幅图，左图中的两个长方形之间有放大与缩小关系。如果着眼于大长方形，它的每一条边都缩短至原来的1/2，大长方形按1∶2的比缩小成小长方形；如果着眼于小长方形，它的每一条边都延长至原来的2倍，小长方形按2∶1的比放大成大长方形。右图中的两个平行四边形之间也是放大与缩小关系。如果着眼于大平行四边形，它的每一条边都缩短至原来的1/3，大平行四边形按1∶3的比缩小成小平行四边形；如果着眼于小平行四边形，它的每一条边都延长至原来的3倍，小长方形按3∶1的比放大成大平行四边形。然后要求照（上面的）样子分别把三角形和四边形按2∶1的比放大。
这次“动手做”让学生在画图实践中，深入体验图形放大、缩小的含义，深入体验图形放大、缩小是因其边的长度变化而发生的。学生能否画出放大后的三角形和四边形，关键在于能否从长方形、平行四边形的放大中习得延长图形边的操作方法。所以，观察两个长方形，应重点关注小长方形放大成大长方形，大长方形的边是怎样画的，观察两个平行四边形，要关注把小平行四边形放大成大平行四边形，边是怎样画的，并且把这些画法应用到放大三角形和四边形上。
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