初中数学网资料(@版权所有)
第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决
简单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维]
（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]
例1． m取哪些值时，函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是二次函数，须满足的条件是：
m2?m?0．
解 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数，则 m?m?0． 解得 m?0，且m?1．
22因此，当m?0，且m?1时，函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数． 2回顾与反思 形如y?ax?bx?c的函数只有在a?0的条件下才是二次函数．
222探索 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些
初中数学网http://czsx.xicp.net; E-mail: shenyufu0861@sina.com 第 1 页 共 45 页
1
22初中数学网资料(@版权所有)
值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 S?6a2(a?0)，其中S是a的二次函数；
x2(x?0)，其中y是x的二次函数； （2）由题意，得 y?4?0x≥0且是正整数）， （3）由题意，得 y?10000?1.98%x?1000（
其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 S?11x(26?x)??x2?13x(0?x?26)，其中S是x的二次函数． 22例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余
下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）S?15?4x?225?4x(0?x?222215)； 2 （2）当x=3cm时，S?225?4?3?189（cm2）． [当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y?x?0 （3）y?x?22（2）y?(x?2)(x?2)?(x?1)
21 （4）y?x2?2x?3 x22．当k为何值时，函数y?(k?1)xk2?k?1为二次函数？
3．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． [本课课外作业]
初中数学网http://czsx.xicp.net; E-mail: shenyufu0861@sina.com 第 2 页 共 45 页
2
初中数学网资料(@版权所有)
A组
1． 已知函数y?(m?3)xm2?7是二次函数，求m的值．
2． 已知二次函数y?ax2，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱
的底面半径x为3，求此时的y．
4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之
间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
B组
5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y?(m?1)2x2 B．y?(m?1)2x2 C．y?(m2?1)x2 D．y?(m2?1)x2 6．下列函数关系中，可以看作二次函数y?ax2?bx?c（a?0）模型的是 （ ） A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计
空气阻力）
D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（1）
[本课知识要点]
会用描点法画出二次函数y?ax的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM及创新思维]
我们已经知道，一次函数y?2x?1，反比例函数y? ，那么二次函数y?x的图象是什么呢？
（1）描点法画函数y?x的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数y?x的图象，你能得出什么结论？
22223的图象分别是 、 x初中数学网http://czsx.xicp.net; E-mail: shenyufu0861@sina.com 第 3 页 共 45 页 3
初中数学网资料(@版权所有)
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1）y?2x2 解 列表 x ? ? -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 ? ? ? （2）y??2x2
y?2x2 y??2x2 ? 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：y?2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对
称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
y??2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对
称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知y?(k?2)xk2?k?4是二次函数，且当x?0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
?k2?k?4?2解 （1）由题意，得?， 解得k=2．
?k?2?0 （2）二次函数为y?4x，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
初中数学网http://czsx.xicp.net; E-mail: shenyufu0861@sina.com 第 4 页 共 45 页
4
2初中数学网资料(@版权所有)
解 （1）由题意，得S?列表： C 2 4 1 12C(C?0)． 166 8 4 ? ? S?12C 161 49 4描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm． （3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2． 回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）y?3x2 （2）y??3x2 （3）y?2．（1）函数y?12x 322x的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 312（2）函数y??x的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
43．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．
[本课课外作业]
A组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
2（1）y??4x （2）y?12x 42．填空：
（1）抛物线y??5x，当x= 时，y有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线y?(m?1)xm（3）已知函数y?(k2?k)xk随x的增大而增大． 3．已知抛物线y?kxk2222?m开口向下．
?2k?1是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y
?k?10中，当x?0时，y随x的增大而增大．
5
初中数学网http://czsx.xicp.net; E-mail: shenyufu0861@sina.com 第 5 页 共 45 页