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观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数y?ax2?bx?c的图象寻找方程ax2?bx?c?0(a?0)，不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)的解？ [实践与探索]
例1．画出函数y?x2?2x?3的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x?2x?3?0有什么关系？ （3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？ 解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程x?2x?3?0的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例2．（1）已知抛物线y?2(k?1)x?4kx?2k?3，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数y?(a?1)x?2ax?3a?2的图象的最低点在x轴上，则a= ． （3）已知抛物线y?x?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且????17，则k的值是 ．
分析 （1）抛物线y?2(k?1)x?4kx?2k?3与x轴相交于两点，相当于方程
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2(k?1)x2?4kx?2k?3?0有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数y?(a?1)x2?2ax?3a?2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程
(a?1)x2?2ax?3a?2?0的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程x2?(k?1)x?3k?2?0的两个根，又由于?2??2?17，以及
?2??2?(???)2?2??，利用根与系数的关系即可得到结果．
请同学们完成填空．
回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
例3．已知二次函数y??x2?(m?2)x?m?1，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数y??x2?(m?2)x?m?1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程?x2?(m?2)x?m?1?0有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程?x?(m?2)x?m?1?0有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1?x2?0，③x1?x2?0．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程?x?(m?2)x?m?1?0有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1?x2?0．
22解 （1）⊿=(m?2)?4?(?1)?(m?1)?m?8，由m?0，得m?8?0，所以
2222⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由x1?x2?m?2?0，得m?2；由x1?x2??m?1?0，得m??1；又由（1），
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⊿＞0，因此，当m??1时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由x1?x2?m?2?0，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数
y??x2?(m?2)x?m?1是由函数y??x2上下平移所得，那么，对一次项系数有何要
求呢？请你根据它入手解本题． [当堂课内练习]
1．已知二次函数y?x2?3x?4的图象如图， 则方程x?3x?4?0的解是 ， 不等式x?3x?4?0的解集是 ， 不等式x?3x?4?0的解集是 ．
2．抛物线y?3x2?2x?5与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ． 3．已知方程2x?3x?5?0的两根是个交点间的距离为 ．
4．函数y?ax2?ax?3x?1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标． [本课课外作业]
A组
1．已知二次函数y?x?x?6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）方程x?x?6?0的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？ 2．如果二次函数y?x?6x?c的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数y?2x?6x?m的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数y?2x?4x?6，
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2222222252，-1，则二次函数y?2x?3x?5与x轴的两22初中数学网资料(@版权所有)
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程x??x?2的解？
B组
6．函数y?mx2?x?2m（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 7．已知二次函数y?x2?ax?a?2．
（1）说明抛物线y?x2?ax?a?2与x轴有两个不同交点； （2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）； （3）a取何值时，两点间的距离最小？ [本课学习体会]
226 . 3 实践与探索（4）
[本课知识要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法． [MM及创新思维]
上节课的作业第5题：画图求方程x??x?2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
2甲：将方程x??x?2化为x?x?2?0，画出y?x?x?2的图象，观察它与x轴
222的交点，得出方程的解．
2乙：分别画出函数y?x和y??x?2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方
程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流． [实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1）x?2x?3?0 ； （2）2x?5x?2?0．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要
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来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线y?x2的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解． 解 （1）在同一直角坐标系中画出 函数y?x2和y??2x?3的图象， 如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1）， 则方程x?2x?3?0的解为 –3，1．
（2）先把方程2x?5x?2?0化为
225x?1?0，然后在同一直角 252坐标系中画出函数y?x和y?x?1
2x2?的图象，如图26．3．6，
11，）、（2，4）， 2412则方程2x?5x?2?0的解为 ，2．
2得到它们的交点（
回顾与反思 一般地，求一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的近似解时，可先将方程
ax2?bx?c?0化为x2?bcbcx??0，然后分别画出函数y?x2和y??x?的图aaaa象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
13?y??x??y?3x?6?(1)?． 22； （2）?2?y?x?2x?y?x2?分析 （1）可以通过直接画出函数y??13x?和y?x2的图象，得到它们的交点，从22而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
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