八年上册数学教案
备课人：王海兵
2007年9月3日
第一章 实 数
1.1 平方根(3课时)
课程目标
一、知识与技能目标
1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。 2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。 二、过程与方法目标
采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？ 三、情感态度与价值观目标
1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。 2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。
教材解读
本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析
上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
第１课时
一、创设情境，导入新课
玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，?可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。?请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。
二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题,引发讨论
1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-2
2
11,-3,3,1, 552
2
能.0=0 (-1)=1 5=25 2.3=5.29 (-
121121222
)= (-3)=9 3=9 1=1 ()= 552525 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,
2
114,,-,1.69 2514442
能.由于5=25,(-5)=25,故平方为25的数为5或-5.
2
0=0,故平方为0的数为0.
22
2=4,(-2)=4,故平方为4的数为2或-2.
22422424)=,()=,故平方为的数为±. 55255252512112111 (-)=,()=,故平方为的数为±.
12144121441441211 对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到.
44 (- 1.3=1.69,(-1.3)=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.
2
又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,的边长分别为1,3,4,6,
2
2
4时,此正方形252 . 5 由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,?也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.?我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根. (二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解
欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,?这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.
2
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 例1 求下列各数的算术平方根: (1)900 (2)1 (3)
2
49-6
(4)196 (5)0 (6)1064 解:(1)∵30=900,故900的算术平方根是30,即900=30. (2)∵1=1,故1的算术平方根是1,即1=1.
2
(3)∵(
4977249497)=,故的算术平方根是,即=
6488646482
(4)∵14=196,故196的算术平方根是14,即196=14. (5)∵0=0,故0的算术平方根是0,即0=0.
2
(6)∵(10)=10,故10的算术平方根是10,即10-32
-6
-3
?6 =10-3
例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接
2
成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm.?已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是
2
边长为5dm的小板子,?试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm的桌面?
22
分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm,要拼出面积为169dm的桌面,还需面积为169-25=144dm的正方形桌面,故问题实际上转化为求144?的算术平方根,144即=12.
2
解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有
x+5=159,x=169-25=144,而12=144
故144的算术平方根为12,即144=12,即另一张桌面的边长应为12dm. 练习:
1.求下列各式的值:
2 ①1.44; ②(?0.1); ③0.81?0.04; ④122222
1. 42解:①1.44=1.2 ②(?0.1)=0.01=0.1 ③0.81?0.04=0.9-0.2=0.7 ④12 (2)若(a-1)+│b-9│=0,则 A.
2
1497== 442b的算术平方根是下列哪一个( ) a1 B.±3 C.3 D.-3 32
分析:由于(a-1)≥0.│b-9│≥0,
2
∴(a-1)+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0, ∴a=1,b=9, ∴
b9b==9,故的算术平方根是3. a1a 3. ?7有意义吗?为什么?
分析: ?7无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a≥0,故?7无意义.
2
2.探究活动
22
(1)当a为负数时,a有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论. (2)x-x+
2
1是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么? 42
2
2
2
解:当a为负数时,a为正数,故a有算术平方根,如a=-5时,a=(-5)=25, a=25=5,5是-?5的相反数,故a<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
当a为正数时,a的算术平方根表示为a,其值为a,即a=a. 22
222 当a=0时, a=0 2?a(a?0)?2 由此可知a=|a|=?0(a?0)
??a(a?0)?12211212
)=x-x+,而(x-)一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x-x+有算术平方根,其算24241111122
术平方根的值要视x的取值而定.当x≥时,x-x+的算术平方根为x-.?当x<时,x-x+的算术平
24224 (2)因为(x-
方根为-(x-
11)=-x. 22 (三)归纳总结,知识回顾
这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,?求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
练习设计
(一)双基练习
1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;?若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.
2.求下列各式的值:
0.16,111?22, (?3) , 0.25, 10 25 3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.
4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值. (二)创新提升
5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (三)探究拓展
6.若x?4与4?y互为相反数,求xy的算术平方根.
参考答案
1.0,1 0; 2.0.4,
61-1
,3,0.5,10(); 3.x=3 5104.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.
5.a=5,b=2
6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4. 课后作业：P4 1、2
第2课时
一、创设情境，导入新课
某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,?再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面
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积为90cm,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm.?请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.