(1)若x+y=2,则xy≤1 (2)x+y=3,则xy≤ (3)若x+y=6,则xy≤3
根据以上三个命题所提供的规律猜想: (1)若x+y=9,则xy≤_______.
(2)若对于任意正数a、b,总有ab≤_____.
3,从中发现分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则226axy≤=1.当x+y=6时, xy≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a时,?则mn≤,即
222m?nmn≤
29a?b ∴x+y=9时,则xy≤, ab≤
22 分析:当x+y=3时,有xy≤ 由此得a+b≥2, a?b即(a-b)≥0
2
(三)归纳总结,知识回顾
本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,?何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.
练习设计
(一)双基练习
1. 16的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢? 2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?
2
3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m,求长和宽. 4.若(a-
11212112?a?2)= 2+a-2,现老师布置了一道化简题: +(a=) .甲、?乙两同学很快地2aaa5a写出其解答过程:
甲:
111111222?a?2(?a)+ =+=+-a=-a, a2aaaaaa当a=
1214时,-a=10-=9 5a55 乙:
111111122?a?2(?a)+=+=+a-=a= a2aaaaa5 谁的答案是对的?为什么?
(二)创新提升
5.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,试比较a、b、c的大小.(不用计算器) (三)探究拓展
6.若35的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.
参考答案
1.4,±4,±2 2.-4 3.长为10m,宽为2.5m
4.甲的答案是对的,因为a=5.因为3>22 , 所以a-b=6-1-2=3?3-1-2>3?22-1-2=(2?1)-1-2, 而c-a=6--1-2 =a-b>0 ∴b
6.∵25<35<36 ∴5<35<6 ∴35 的整数部分为5,小数部分为35-5,即a=5,b=35-5
课后习题答案 习题1.1 1.(1)14 (2)
211 时,>a. 5a5 (3)0.2 (4)10 81131 (3) (4) 3121910 2.(1)(3)(4)式有意义,(2)式无意义 -3没有算术平方根 3.(1)±15 (2)
4.(1)对 (2)对 (3)错 (4)对
5.(1) 867≈29.44 (2) 0.46254≈0.6801
(3)-8≈-0.5657 (4)±2402≈±49.01 25 6. 40最接近的两个整数是6和7
7.(1)±16.4 (2) 285.6≈16.9 (3) 270在16.4～16.5之间,
因为16.4=268.?95270, 故169<270<16.5 (4)16.1
8.(1)x=±5 (2)x=±9 (3)x=±
2
2
2
2
6 5 9.120=4.9t,t=24.48 t=24.48≈4.95秒≈5秒
10.2倍,3倍, n倍
11.(1)2,3,5,6,7,0 , a=│a│ (2)4,9,25,36,49,0 ,(a)=a. 12.其值最接近1.
2
21.2 立方根(第1课时)
课程目标
一、知识与技能目标
1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.
2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同. 二、过程与方法目标
用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,?并能自我总结出平方根与立方根的异同. 三、情感态度与价值观目标
发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.
教材解读
由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算,很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现.
学情分析
在学习完平方根运算后继而学习立方根运算,?通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握.
一、创设情境,导入新课
劳动节即将来临,学生们纷纷给他们敬爱的老师奉献他们的心意,刘老师所任教的两个班的科代表一同前往老师办公室,他们手中捧着两个形状、?大小一模一样的礼盒,并对老师说:“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意”.说完,两个科代表相视一笑,请老师猜一猜里面装的东西是否一样,里面物体的体积是否一样.老师知道,他们葫芦里肯定又要卖什么药了,?就郑重其事地说出两个盒子的大小形状虽然一样,但里面所装的物体的形状肯定不一样,并且它们的体积也相同,但一定有其它不相同的地方.
刘老师打开纸盒一看,?发现里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一
2
个是正方形,并且盒子里面各有一张纸条内容相同,经过测算,其体积为125cm.同学们,你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗??那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和边长吗?要求出这两个量,?我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论
在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.
3333
2=______ ;(-2)=______; 0.5=_____;(-0.5)=______;
(
23233
)=_____;-()?=_____ ; 0=______. 333
3
3
3
(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处? 2=8;(-2)=-8; 0.5=0.125; (-0.5)=-0.125;(
2382383
)=; -()=-; 0=0. 327327 我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平
方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?
类似平方值定义可知,若x=a则x为a的立方根,记为3a,读作三次根号a.负数没有平方根,负数有无
3
立方根呢?从(-2)=-8,(-0.5)=-0.125,(
33
238)=-,可知负数有立方根,?并且其立方根仍为负数.
327 (2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,?故请根据上述等式,写出这些互为
相反数的立方根.
8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为38=2, 3?8=-2 0.125的立方根为0.5,-0.125的立方根为-0.5,记为30.125=0.5, 3?0.125=-0.5
823882822的立方根为,-的立方根为-,记为3=，?=-
273273273273 0的立方根为0,记为30=0
上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为125时,其边长为3125=5,而球的体积为?r =125时,r≈3.1.
3
43 (二)导入知识,解释疑难 1.例题求解
既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,?负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为a=a(a为任意数),或者若a=M,则有3M=a,其中M为被开方数,3为
3
33根指数,且根指数为3时,不能省略,?只有当根指数为2时,才能省略不写.故课本P170探究中, 38 =-2,- 38=-2,由此得3?8=-38 ,又3?27=-3,- 327=-3,由此得3?27=-327 于是可归纳出其规律: 3?a=-3a,而?a,a的意义不同,其值也不同,若a>0时, -a表示a的算
术平方根的相反数?a无意义;若a<0,则-a无意义.
例2:求下列各数的立方根。 ①-27; ②
3
27; ③-0.216。 64 解:①∵(-3)=-27,∴3?27=-3;
②∵(
33273273)=, =,.
6444643
③∵(-0.6)=-0.216, 3?0.216=-30.216=-0.6.
练习:(1)求下列各数的立方根:
①0 ②8 ③-64 ④81-36 解:①30=0; ②38=2; ③3?64=-4; ④81-36=81-6=75; 375≈4.22; (2)比较-4、-5、-3100的大小.
解:∵4=64,5=125,64<100<125, ∴4<3100<5,故-4>-3100>-5 3
3
2.探究活动
①若正方体的棱长为1,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512??当棱长为2n时,?其体积为多少?②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为32;体积为3时,?棱长为 ??;若体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍? 解:①正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比较两者棱长扩大了2倍,?体积扩大了8倍,棱
3
长又扩大了1倍,其体积相应增大7倍,为原来的8倍,?故当棱长为2n时,体积为8n. ②当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的3n倍.
(三)归纳总结,知识回顾
这节课学习了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求任意数的立方根时,只能先求出该数的绝对值的立方根,再根据任意数的正负性决定其值,注意区分平方根与立方根.
练习：（一）P10页1，3，； P11页1，3