AFDBEC
将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,?正方形纸片的面积为
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90-40=50cm,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道2222
7=49,8=64,50这个数既不是7,也不是8,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论
在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?
我们知道,若有正数x,使x=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=a?,?于是若x=50时(x为正数),
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则x=50,而7<50<8,因此有7<50<8,现在我们就来学习如何求50的近似值,50是不是有理数呢?
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(二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解
在上学期有理数的乘方运算中,?我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,?我们不妨用计算器验证7.1,7.1=50.41,而50.41>50,故50<7.1,2
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再验证7.09=50.27>50,故7<50 <7.09,而7.08=50.12,7.07=49.98,故7.07<50<7.08,接着继续增加
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小数点后一位小数,如7.071,计算7.071=49.99,而7.072=50.013,故7.071<50<7.072,??如此继续进
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行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07??的平方值无限接近
50,因此发现,50不可能化为我们以前学过的无限循环小数,?只能化为无限不循环小数,而有理数只包
括有限小数和无限循环小数或者整数,但50却不在这些数的范围内,只能说50这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢? 只要计算器上有“”键或者“y”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的
按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了. 例1:用计算器计算3136和2,5,10的值.
解:通过按键可得3136的值在计算器上显示:56,为有理数.2的值在计算器上显示1.?414213562,?而5的值在计算器上显示2.?236067978,10的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,?因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循
环小数即无理数.?通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.
活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?求出其边长.
分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,我们就得确定2的值大约是多少,我们知道1=1,2=4,故1<2<2,?也即是面积为2的正方形的边长比1大故比原小正方形的边长大,?若沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开,得四个形状、大小完全相同的小直角三角形,将这四个直角三角形的直角边拼接起来得一个新正方形.(如课本图10.1-1)
使用计算器不仅能很方便地计算出任意一个正数的算术平方根,?而且还能使用计算器找到某些数的算术平方根之间的关系.
例3:(1)求下列各数的算术平方根.
0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用计算器计算下列各式的值: 0.06252
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0.6256.25 62.5 625 6250 62500??
你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出0.03、300、30000的近似值(已知3≈1.732),你能根据3的值确定30 的值吗?
解:(1)∵0.001=0.000001 ∴0.000001=0.001依次可得出0.0001=0.01, 0.01=0.1, 1=1,
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100=10, 10000=100, 1000000=1000 从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,?其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有b=10a,(或者:?被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍) (2)
0.0625=0.25 0.625≈0.79057 6.25≈7.9057 62.5≈7.9057 625=25
6250≈79.057 6250=250 62500≈790.57
比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而
0.0625与
0.625中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.?故若已知3≈1.732,可知0.03≈0.1732, 300≈17.32, 30000≈173.2,但不能知30的值.
2.探究活动
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(1)用一块面积为400cm的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm的长方形纸片,你会怎样剪?
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(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?
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解:(1)面积为400cm的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,?使长方形纸片的面积为
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300cm,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?则可设其两边为3x和2x,则有3x22x=300,6x=300 x=50,x=50,故长方形纸片的长为350cm,宽为250cm,而350>337=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.
通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片. (三)归纳总结,知识回顾
通过本节课的学习可知,并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“a”的形式表示,也可以用一个与a的值接近的有理数替代,?于是可用计算器算出这个数,但实际上,a是一个无理数.
练习设计
(一)双基练习
1. 用计算器求出下列各式的值.
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2
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8955 12345 -260 0.00537
2.用计算器比较3?11与的大小. 222
3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P?之间有如下的一个关系式:?P=IR,,现有一用电器,
电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.
4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)
(二)创新提升
5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的
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面积为60000米.
(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)
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(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米,该水池的半径是多少?(?精确到0.01) (三)探究拓展
6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3??.随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?
(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,?你发现了什么?
参考答案
1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2.
3?11≈0.366< 3.I≈11.55安培 4.?约7.07cm 5.(1)22宽约为154.92米 (2)r≈5.05米 6.(1)结果越来越小,趋向于0 (2)结果越来越趋向于1
第3课时
一、创设情境,导入新课
同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003?年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,?在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,?脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/?秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?
二、师生互动,课堂探究
(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,?发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x=a,则x=a称为a?的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?
(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)?而小于第二宇宙速度
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v2(米/秒),其中v1、v2满足v1=gR,v2=2gR,其中g?是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒,R是地
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球半径,R≈6.4310米,如何确定v1、v2的值呢??它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧. (二)导入知识,解释疑难
1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?
由于4=16,(-4)=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=16,则-4=
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-16,把4和-4称为16的平方根.
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,?即若x=a,则x为a的平方根,记为x=±a.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,?表示为±3=±9. 把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,?而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,
2222
可以求一个数的平方根,例如当x=1时,x=±1;当x=16时,则x=±4,当x=36时,x=±6;当x=49时,x=±7;当x=
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2
4244,则±为的平方根,依次可记为±1,±16,±36,±49,±,它们的对应关系如
2552525图所示.
练习:求下列各数的平方根.
(1)0.49 (2)
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49 (3)81 (4)0 (5)-100 362
解:(1)因为0.7=0.49,(-0.7)=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±0.49=±0.7
(2)因为(
49724972494977)=,(-)= ,所以的平方根为±,即±=±
3663663636662
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(3)因为9=81,(-9)=81,所以81的平方根为±9,即±81=±9. (4)因为0=0,所以0的平方根为0,即±0=0.
(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.
将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,?而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出: 正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根
例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根. (1) 1.44 (2)-81 (3)±2
9 100 解:(1)因为1.2=1.44,所以1.44=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±1.44=±1.2.
2
(2)因为9=81,所以-81=-9,81的平方根为±9,即±81=±9.
2
(3)因为(
932939)=,所以±=±,它正是的平方根.
100100100100100 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,?因为其算术平方根和算术平方根的相反
数即为该数的平方根.?同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.
2262
面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v1=gR,其中g=9.8米/秒,R≈6.4310米,v2=2gR,
26226227222622
则有v1≈9.836.4310米/秒≈62.72310米/秒=6.27310米/秒.v2≈125.44310米/秒=1.2544
822
310米/秒
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因此,v1是6.272310的平方根,v2是1.2544310的平方根.
那么v1=±6.272?10≈±7.9310米/秒=±7.9千米/秒,v2=±1.2544?10 ≈±11.2310米/秒
3
3
78=?±11.2千米/秒
但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.
例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?
2
解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x平方米 故3x=13200 x=4400 解得x=±4400=±66.33
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2
但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.?99米,宽为66.33米. 2.探究活动
对于正数x和y,有下列命题: