第一章 生存分布与生命表
学习目标
□了解常有生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 □了解生存分布与生命表之间的关系
□了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法
S1.1 引言
寿险精算的主要研究都建立在生命个体（如被保险人）的生存情况的基础上。精算学的发展始于对生存分布和生命表的研究。在开始生存分布和生命表的讨论之前，我们先介绍几个基本的概念和符号。
首先，我们用符号（x）表示x岁的生命，用T（x）表示（x）从现在直到死亡之间的时间长度。显然，（x）在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T（x）不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T（x）为（x）的未来生命时间长度随机变量。
用X表示（x）死亡时的年龄。显然，X也是一个随机变量，并且有T（x）=X-x。称X为（x）的寿险随机变量。
如果（x）=（0），即一个新生婴儿，那么很显然，新生婴儿的未来生命时间长度恰好等于其寿命，即T（0）=X。
既然X和T（x）均为随机变量，所以，我们可以研究他们的概率分布情况。基于概率统计的基础知识，我们记X的分布函数为Fx（x），于是
x?0 （1 Fx(x)?Pr(X?x)
—1）
显然，{X?x} 表示新生儿将于x岁之前死亡的随机事件。于是，概率分布函数Fx(x)对应的是一种死亡概率。
与上述死亡概率对应，我们可以定义函数SX(x)为：
SX(x)?1?FX(x)?Pr(X?x) x?0 （1--2）
显然，{X?x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿将在x岁还生存的随机事件，所以SX(x)为新生儿将在x岁仍然活着的概率。基于此，我们称
SX(x)为生存函数，为方便起见，有时省略下标记为SX(x)。
注意到分布函数Fx（x）和生存函数SX(x)之间的简单关系，可以知道这二者对于相应的随机变量X的意义和地位，它们有相同的作用！因此，基于概率统计的经验，我们知道，为了研究随机变量X，研究分布函数F（或生存函数SX(x)xx）
二者中之一即可。一般的概率统计教材研究随机变量时，往往习惯于从随机变量的分布函数入手，而精算教材则更习惯于从生存函数入手来研究相应的寿命随机变量或生命时间长度随机变量（这也许与人们乐生恶死的潜意思有关！因为生存函数对应的是生存概率，而分布函数对应的是死亡概率）。
我们约定Fx（0）=0，或者SX(0)?1，即所考虑的（0）是活着的。记随机变量X的密度函数为fX(x)，于是，
'fX(x)?FX'(x)??SX(x), SX(x)?1?FX(x)??fX(t)dt
x???0fx(t)dt?1
【例1--1】 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为： Fx（x）={2(100?x),0?x?100100000,其他
求：
（1） 该地区人群的生存函数；
（2） 该地区某人将在（70,80）之间死亡的概率。 解：（1）当0≦x≦100时， S（Xx）=Pr(X>x)=1-FX(x) ?1??故有
?1,x?0??(100?x)2,0?x?100 Sx(x)=??10000??0,x?100
x0?2t?200(100?x)2dt?
1000010000(2)有 Pr(70?x?80)?SX(70)?SX(80) ?0.09?0.04?0.05
接下来考虑一般的（x）。首先，（x）将y（>x）岁仍然生存的概率为：
Pr(X?yX?x)?sX(y)sX(x)
（1 - 3）
或 FT(x)(y?x)?Pr（T(x)?y?x)
??FX(y)?FX(x)?sx(x)
?[sx(x)?sx(y)]sx(x) ( 1 - 4 )
其在y岁之前死亡的概率为：
Pr(x?X?yX?x)?[Fx(y)?Fx(x)][1?Fx(x)]
?[sx(x)?sx(y)]sx(x) （1 – 5） 等价地 Pr(X?yX?x）=sx(y) （1 - 6） sx(x)在精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡的概率，更具体地，用符号tPx表示（x）在t年后仍然生存的概率，tPx表示（x）将在接下来的t年内死亡的概率。即
tpx?Pr(T(x)?t)?Pr(x?x?tX?x)
?sX(x?t)sx(x) （1 – 7） 和
tqx?1?tpx?Pr(T(x)?t) ?FT(x)(t)
?[sx(x)?sx(x?t)]sx(x) t?0 （1 – 8） 当(x)?(0)时，因为T(x)?T(0)?X，所以， tq0?Pr[x?t] ?Fx(x) t?0 tp0?sx(x) x?0
特别地，当t=1时，可以将上述符号左下角的t省略不写，即 qx?Pr[(x)将在未来1年内死亡] ?Pr(T(x)?1) px?Pr[(x)将活到年龄x?1] ?Pr(T(x)?1)
另外，用t来表示延期t(年)。因此，对于(x)将在t年后的?年内死
亡的概率，我们可以用t?qx来表示，即
t?qx?Pr[t?T(x)?t??] ?t??qx?tqx
?tpx?t??px （1 – 9） 上式中，如果??1，则可简记为tqx。 【例1 – 2】 已知sx(x)?1?解：10p30?x，求10p30和105q25。 110s(40)500(1?40110)??78?87.5%s(30)500(1?30110)
105p25?10p25?5q35? ?s(35)?s(40)?s(35)?s(40) ??1???s(25)?s(35)?s(25)(1?35110)?(1?40110)?485?4.706%
1?25110 将连续型随机变量T(x)的整体部分用K(x)表示,即K(x)=[T(x)]。同时令
S(x)?T(x)?K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略未来生命时间长度随机
变量和
(x)的死亡年残余时间长度随机变量。我们有：
Pr[K(x)?k]?Pr[k?T(x)?k?1] ?Pr[k?T(x)?k?1] ?kpx?k?1px
?kpxqx?k?kqx k?0,1,2,? （1 – 10）
FK(x)(k)?Pr[K(x)?k] ??hqx?k?1qx
h?0k及
Pr[(K?k)?(S?s)]?Pr[(k?T?k?s)] ?kpx?sqx?k
在不致引起混淆的情况下，可以将T(x)简记为T，将K(x)简记为K,将
S(x)简记为S。
?120?x?【例1 – 3】 假设(x)的生存函数是sX(x)???，0?x?120，
120??求：他未来生命时间长度的整数部分为30的概率。
解：Pr[K(x)?30]?Pr[30?T(x)?31]?30px?31px ?sX(x?30)?sX(x?31)
sX(x)12 ?90?x?89?x
120?x 在 （1 – 5）用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前提下，在(x,y)之间死亡的概率。如果将y?x固定，则该条件概率（已到达x岁的人在接下来y?x年内死亡的概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑y?x为无穷小量（令y?x??x），则该概率可以成为一个瞬间的死亡率，再由（1 – 5），有
Pr(x?X?x??x|X?x)?[FX(x??x)?FX(x)][1?F（）] Xx ??xfx(x)[1?FX(x)]
在上式中，fX(x)[1?FX(x)]可以解释为条件密度函数，对于任意的年龄x，它给出的是(0)在x岁生存的条件下，对应的X在x时的条件概率密度函数的值，我们将该函数记为?(x)或?X，即
fX(x)?(x)?1?FX(x)