1lx?s?11?1??s???lxl?x?1lx? （1-42） 11?s???1?s??lx?1lx1lx?s这表明，这种假设下具有线性形式。
类似地，在双曲假设下，可以得到其他生命表的表达形式。
首先
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注意，在调和假设下，死亡力在（x，x+1）上是单调递减的，这和直观的感觉有所不同。我们知道，死亡力描述了个体的瞬时死亡概率随时间变化的情况，因此，具有递增性质的死亡力才是合乎情理的，同时直觉告诉我们，高龄人死亡的概率应该比年轻人死亡的概率大。当然，这种感觉并不一定总是正确的。事实上，经验表明，人类生命有这样一种特性，由于先天的缺陷或婴儿疾病，在婴幼儿阶段死亡率较高，而后死亡率随年龄的增长而下降，并在30岁左右趋于相对稳定，而后又随年龄的增长而升高。
在保险精算领域，具有递增性质的死亡力是更合理的，也是更常用假的假设。首先，因为保险精算实务中更多考虑的是处于稳定年龄段的生命，这种生命的死亡力是递增的。其次，当考虑的是低龄生命时，即使国民生命表相应死亡力呈现先降而后升的形状，对保险公司来说，由于存在选择的过程，所以往往可以将身体虚弱者挡在门外，而只接纳那些身体条件较好者，而这些人的死亡力则是递增的。
在前面所作的三种假设中，线性假设下死亡力是递增；指数假设下的死亡力为常数；调和假设则产生递减的死亡力。
需要强调的是，我们所做的三种假设均是针对单个（一年）区间的，因此，得到死亡力的增减性也只是局限于相应的一年区间，而不是在整个（0，?）上的。
在一年区间上所做的这三种假设（当然还可以有其他的假设）各有优缺点。
线性假设下，死亡力是单增的，这种结果是合乎情理的，同时，线性假设下的数学处理也比较简单。不过，这种简单既是线性假设的有点，也是它的缺点，正是因为这种简单，所以人们对用它来描述复杂生命情况的准确性不是十分放心。也正因为如此，所以有必要发展其他的假设方法。
指数假设在计算其他生命表函数时不如线性假设那么简单和方便，不过，指数假设有许多方便之处是其他假设所不及的。
双曲假设由于其死亡力递减而显得有点逊色，另外双曲假设下的有关计算也更麻烦，因此，这种假设的应用明显比前两种要少。但是，由这个假设得到的关系式1?sqx?s=（1-s）qx却十分有用。因此，这个假设同样具有其独特的好处。 意大利精算师Gaetano Balducci曾经指出了双曲线分布的诸多应用，因此，人们又将双曲假设称为Balducci假设或Balducci分布。
综合在上述假设下得到的一些关系式，我们得到如表1-3的比较表。 表1-3分数年龄的概率函数在各种假设下的比较
函数 tqx ??x?t? 假设 均匀分布 tqx qx/?1-tqx? 常力 双曲 t1??px? ?lnpx tqx/??1-?1-t?qx?? qx/??1-?1-t?qx?? 1?tqx?t ?1?t?qx/?1-tqx? yqx/?1-tqx? 1-tqx qx 1?(px)1?t ?1?t?qx 1?(px)y (px)t tyqx?t yqx/??1??1?y?t?qx??
px??1??1?t?qx?? qxpx??1??1?t?qx?? 2tpx px??x?t?
?(px)tlnpx §1.4 一些死亡解析律
用生命表加上分数年龄间的假设能够完全描述生命的生存情况。不过，这种描述方法有时显得比较复杂，因此，人们还希望能够用一个简单的数学函数来替代上述复杂方法。问题是：是否存在可以描述人类生存情况的数学函数？如果有，这种函数的具体表达式是什么？
很多人认为，既然自然界的很多现象都能被一些简单的数学公式很好的解释和描述，所以应该相信，人类的生存情况同样会服从某种简单的数学法则。曾经有很多人致力于寻求这种数学函数，他们通常利用带有少数几个参数的函数，作为描述人类生存模式的公式，我们将这种带有少数几个参数的公式称为死亡的解析律。
有四个重要的死亡解析律，他们在历史上曾经得到过很多的应用，并且直到现在，他们仍然具有重要的理论和应用价值。表1-4是这四个解析律的简单描述。
表1-3 不同解析率下的死亡率和生存函数
提出人 De moiver（1729） Gompertz（1825） Makeham（1860） Weibull（1939）
??x? sX?x? 1?x/? xExp??mc?1????? 约束条件 ???x??1 0?x?? B?0,c?1,x?0 Bcx A?B kxn xxExp??Ax?mc?1????? B?0,A??B,c?1,x?0
n?1?Exp??ux?? k?0,n?1,x?0 §1.5 选择和终极表
在考察某种生命的生存情况时，有时可能需要区别该生命的来源，即，不同
来源的生命，尽管年龄相同，但是有可能未来的生存情况会不同。例如，对于来自经济、地理和社会条件都由很大不同的地区的相同年龄的人，我们很自然会认为他们的未来生存情况是不同的。
在考虑选择的情况下，我们用s（t；x），t》0表示被选择的x岁的人在t年后仍然生存的概率，这个函数与前面我们讨论过的生存函数的性质类似。因此可以展开类似的讨论。
为了构造相应的选择生命表，我们用l[x]表示被选择的x岁人群的人数，l[x]相当于综合生命表中的基数l0，并且，相应的，有
l[x]?t?l[x]s(t;x) （1-50） 这样，只要对所有整数t确定l[x]?t的值，那么，就可以得到选定的x的选择生命表，并可用类似的方法得到其他的生命表函数值。如：如选择年龄为x，那么对这种人种已经x+5岁的人来说，他们将死于x+7和x+10岁之间的(条件)概率为：
23q[x]?5=
l[x]?7?l[x]?10l[x]?5
通常，随着t的增加，选择的意义将逐渐减少，当t足够大时，选择将失去意义。这是因为一般情况下，合理的假设是：对于特定的被选择人群，他们在被单独观察过一段时期后，剩余仍然存活的人群应该与大众人去无异，因此可以对他们使用综合生命表。
具有这种性质的生命表叫选择终极表。事实上，经验表明，使选择有意义的时期往往不超过15年。我们把这种使选择有意义的时期叫做观察期。
确定观察期是构造选择终极表的第一步。为讨论的方便，我们考察观察期为4年的情况，这意味着，对被选择生命来说，过了4年以后，死亡力只与年龄有关，与来自的人群无关。
设x为所要构造的生命表中被选择的最小年龄。然后，选取一个基数l[x]，并且
l[x]?t?l[x]s(t;x) t=1,2,3 （1-51） lx?t?l[x]s(t;x) t》4 （1-52） 注意到，上式表明，
l[x]?lx?4/s(4;x) （1-53） 因为lx?4由综合生命表的基数l0和确定的生存函数确定，而s（4；x）