lx?lx?1·(1?qx?1)?lx?1?dx?1?l0?(d0?d1? ?dx?1?l0[1?(d0?d1? ?dx?1?l0[1?xq0]l0
（1-23）
其中lx是这一生存组中活到x岁的人数。l0为基数，上述方程可以改写成
l1?l0·p0l2?l1·p1?l1?d1?(l0p0)p1…… ……
lx?lx?1·px?1?l0(p0p1 ?l0·xp0（1-24）
需要说明的是，生命表通常并不是通过观察l0个0岁新生儿的生存过程，记录每一个新生儿的死亡年龄，从而得到每个年龄的剩余人数lx的。这样做显然不合算，因为如果这样操作，编这样一张生命表至少得花100多年的时间。另外这样做也缺乏时效性，因为它反映的是100多年前的一代人的生存模式。事实上，生命表的编制是通过利用最近的一段时期的数据，如中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）所使用的是2000-2003年期间中国人寿保险业有关的数据，通过先估计各年龄死亡率qx，然后再由qx衍生出lx的。生命表构造的更具体的讨论不是本课程的重点，有兴趣的读者可以参考其他相关书籍。
px?1
§1.3 分数年龄假设
在表1-2中可以发现，表中所给出的数值都是相应函数在整数点的值。对于非整数值，在表中是找不到的。事实上，这也是生命表的一种局限性，因为在一张表中，只能给出有限个数据。只有整数点上数值的函数显然不是一个完整的函数。并且，在对一些其他函数的讨论中可以发现，仅有lx在整数点上的值是不够的。事实上，只有npx和nqx在x和n为整数时可以仅由生命表中的lx给出。因此，还需要对s(0＜s＜1），确定lx?s的值。注意，讨论lx在非整数点上的值时，通常都是分段进行的，一般以一年为一段，因此，下面我们对整数x(x=0,1,2,…, ω
-1)，及任意的s∈（0，1），在已知lx和lx?1值的前提下讨论lx?s。
假设lx?s作为s的函数，在【0，1】区间上并具有某种数学形式。s=0和s=1分别对应于lx和lx?1。而对于0＜s＜1，假定lx?s在闭区间【0，1】上连续，在开区间（0，1）上可微。
事实上，这个假设也是讨论上述生命表衍生函数的基础。仅在上述假设下，我们并不能得出lx?s在0＜s＜1上的值。因此，还需要作进一步的假设，即关于lx?s数学形式的假设。通常假设lx?s作为s的函数在【0，1】区间上具有某种数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲假设。下面我们分别讨论：
1.3.1 线性假设
线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假设下，lx?s具有线性形式，即lx?s可以写成a+bs的形式。由连续性，可知
lx?a,lx?1?a?b
因此b?lx?1?a?lx?1?lx??dx 于是lx?s?lx?s·dx 或（1-25）
此时，lx?s的值就可以由lx和lx?1完全确定下来。
确定lx?s的值后，其他函数的值也就相应地被确定。事实上，有
npx?lx?s?lx?s·(lx?lx?1)?s·lx?1?(1?s) lx
lx?sd?1?s xlxlxx
?1?s （1-26）
sqx?1?spx?s x
（1-27） 另外
1?spx?s?lx?1lx?1?lx?slx?s·dxpx1?s x
?(1-28)
1?sqx?s?1?1?spx?s?1?s x?px1?s x?(1?s) x1?s x(1-29)
且
?dlx?sdxds?lx?slx?s?dx?x?s?=qx1?s?qxx?s
p0???x?s?s?x?f?x?s?f?X?x?s|X?x???s?x??spx???x?s??qx这是一个非常简洁且非常实用的结果，它表明，在线性的假设下，区间（x,x+1）上的条件死亡密度为一个常数，并且这个常数就是在这个区间上的死亡概率。这同时表明随机变量s在这个区间上时均匀分布的。实际上，lx?s?lx?s?dx也意味着在这个去区间上，人数是均匀下降的（即匀速的）。为此，lx+s的线性假设通常被称为死亡的均匀分布假设，简称为UDD假设。
另外，注意到在均匀分布假设下，有
Pr???K?k???S?s????kpx???x?s??k|qx?s
?Pr?K?k??Pr(S?s）这表明，在均匀分布假设下，随机变量K和S是独立的。
注意：由于在s=0和s=1处没有可微性假设，所以，对?x?s和f(s|X>x)的讨论不包括这两点。
1.3.2 指数假设
指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这种假设下lx?s具有指数形式，即它可以写成abs的形式，由
lx=ab0=a
lx+1=ab1=ab
有
b=lx+1lx+1==px alx于是
?l?s1-slx+s=lx?x+1?=（lx+1）（?lx）
l?x?s或
s lx+1?lx（?px）从而
tpx=lx+ss =（px）lxsqx=1?spx
s=1?（px）?1?(1?qx)s
1?spx?s?lx+1l?x+1s lx+slx(px)px1?s ?(p)xs(px)?1?s q?1?p?1?(p)1?sx?s1?sx?sx?1?(1?qx)1?s
?dlx?s?lx(px)s?(lnpx)ds?
lx?slx(px)s?x?s???lnpx
这表明，在指数假设下，死亡力?x?s在0?s?1上是一个常数。通常把这个常数死亡力记为?，即?=?lnpx，于是
px?e??,spx?e??s
及
1?spx?s?e???(1?s)
从而
f(s|X?x)?f(x?s)?s(x)x?sp0??(x?s)??(x?s)
s(x)???e?us
这表明S在（0,1）上服从参数为?指数的指数分布。所以有时又将指数分布成为常力分布。
1.3.3 双曲假设
双曲假设又叫调和假设和Balducci假设，这种假设下lx?s具有双曲线形式，即它可写成(a+bs)?1的形式，
由s=0时，
lx?11及s=1时，lx?1?
a?ba有
a?111，b??
lx?1lxlx从而
lx?s?1?11?????l?s?l?l???
?x?1x???x?1或