?s'(x)?s(x)?dlns(x) (1—11) ?dx并称之为死亡力（也有称该函数为失效率、风险率或危险率函数）。 由（1—11），我们有
??(y)dy?dlns(y)
从而有
tpx?exp?x+t?????x?(y)dy???exp?t
????0?(x?s)ds??? 特别地，x?0时，有
xp0?sX(x)?exp?
????x0?(s)ds??? 于是
FX(x)?1?sX(x)?1?exp???? ?xo?(s)ds?
??
F'X(x)?fX(x)?exp?????xo?(s)ds????(x) ?xp0??(x)
1—12）
1—13）
（ （记和fT(x)(t)为T(x)的分布函数和概率密度函数，因为
FT(x)(t)?tqx
所以
fdT(x)(t)?dtFT(x)(t)?ddttqx?ddt?1?exp?????x?tx?(y)dy???????d?x?t??x?t??dt????x?(y)dy?????exp?????x?(y)dy????tpx??(x?t)t?0于是
qp tx??t0sx?(x?s)ds
特别地
?q?p1
x?t0tx?(x?t)dt?
另外
ddt?1?dtpx???dttpx
?tpx??(x?t)因为
limpx?0
n??n
所以有
(1?14)(1?15)
lim(?lnnpx)??
n??
从而
lim?x?nn??x?(y)dy??
【例1—4】 已知?(45?t)?解：
1，求10q45。
270?3t?0q?1?p?1?e10451045?10?(45?t)dt?1?e
8ln()3918?1?()?0.03859
13§1.2 生 命 表
前面我们讨论了随机变量X或T(x)的概率分布函数、生存函数、概率密度函数及死亡力函数等，在概率统计课程中，往往通过给出概率分布函数（或密度函数等）来描述随机变量，不过对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长度）的随机变量而言，要想找一个简单的函数来作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可能的（当然，也有人认为这样的函数是存在的，并致力于寻找这样的函数，后面我们将介绍此类函数），所以我们需要利用其他描述随机变量的方法，来描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x).生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和T(x)近似特征的方法。
最简单的生命表通过给出每一个年龄的qx来反映X和T(x)的特征。一般生命表，
除了给出
qx值外，还给出了一些其它的函数值。因此，在给出生命表之前，我们先讨论一
些生命表函数。
1.2.1 生命表函数与生存函数
考虑一群新生儿，共l0?100000名。每个婴儿的死亡情况是相互独立并且具有相
同的概率分布，他们的生存情况由生存函数sX(x)给出。
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j?1,2,?,l0来记这些人，则有
L(x)??Ij
j?1l0其中，Ij为j的示性函数，即
?1,如果j生存到xIj??
0,否则?因为
EIj?Pr?j在x岁还活?着 所以
???Pr?T(0)?x??s(x)l0j?1,2,?,l0
E?L(x)???EIj
j?1??
?l0?s(x)记lx?E?L(x)?，即lx为l0个新生儿中预期生存到x岁的人数，于是
lx?l0?s(x) （1—16）
L(x)??Ij
j?1l0由于不同新生儿的生存情况是相互独立的，所以Ij相互独立。于是，由
知L(x)服从参数为n?l0,p?s(x) 的二项分布。
令nDx为这l0个新生儿在x和x?n岁之间死亡的人数，并记ndx?E?nDx?。因为新生儿在x和x?n岁之间死亡的概率为s(x)?s(s?n)，所以有
ndx?EnDx??lx?lx?n
?l0?s(x)?s(x?n)? （1—17）
n?1时可以将ndx和nDx中的坐下标略去，即
dx?E?Dx? 由
?l0?s(x)?s(x?1)??lx?lx?1
1ds(x)?(x)???s(x)dx1dlx??lxdx （1—18）
有
-dlx及
?dlnlx从而
lb令a=0，b=x，则有 lx令a?lx?u(x)dx
??u(x)dx
b?laexp[??u(y)dy]
a?l0exp[??u(y)dy]
0x?x,b?x?n，有
?lx?exp[??x?nx lx?n及 lxu(y)dy]
?lx?n??x?nxdly ?x?x?nlyu(y)dy
为了方便起见，因为l0可以被看成是具有同一生存函数s(x)的新生儿的个数，所以称之为随机生产组。