第四章 不定积分
一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要
1、原函数与不定积分的定义 （1）原函数的定义
如果对任意x?I都有F?(x)?f(x)，或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。
任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。
若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意常数C，F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数，并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 （2）不定积分的定义
设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的原函数的一般表达式
F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，即
?f(x)dx?F(x)?C
其中C为任意常数；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；? 称为积分符号；x称为积分变量。
一个函数的不定积分不是一个数，也不单指某个具体的函数，而是一个函数族。 2、不定积分的性质
（1）(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 （2）?F'(x)dx?F(x)?C 或
?dF(x)?F(x)?C。
（3）?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数） （4）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx?3、基本积分公式
(1) ?kdx?kx?C (k为常数)； (2) ?xdx?(3) ?1x??g(x)dx
1??1x??1?C (???1)；
dx?ln|x|?C；
1
(4) ?exdx?ex?C； (5) ?adx?(6)
xaxlna?C (a?0,a?1)；
?1?xdx2?arctanx?C；
(7) ?dx1?x2?arcsinx?C；
(8) ?cosxdx?sinx?C； (9) ?sinxdx??cosx?C； (10) (11) (12) (13) (14) (15)
??seccsc2xdx?tanx?C； xdx??cotx?C；
xdx??cscx?C；
2?cscxcot
?secxtanxdx?secx?C； ?shxdx?chxdx?chx?C； ?shx?C；
------------------------------------------------------------- (16) (17) (18) (19) (20)
?tanxdx=?ln|cosx|?C?ln|secx|?C；
?cotxdx?secxdx?cscxdx?adx2=ln|sinx|?C??ln|cscx|?C；
?ln|secx?tanx|?C； ?ln|cscx?cotx|?C； ?1aarctanxa?C；
?x2(21)
?adx2?x2?12alnx?ax?a?C；
(22)
?dxa?x22?ln(x?a?x)?C；
22 2
(23)
??dxa?xdxx?a2222?arcsinxa?C；
(24) ?lnx?x?a22?C。
(a?0)
学习重点
原函数与不定积分的概念，基本积分公式
典型例题
（一）不定积分的概念
例1 函数f(x)?e?x的不定积分是（ A．e?x；
B．?e?x；
）
?CC．e?x； D．?e?x?C
解 由于函数的不定积分是原函数集合，故A、B肯定不对，又因为e?x的一个原函数为?e?x，故D正确。
例2 若
??1x2dx?dF(x)，则F(x)＝ 。
解 d??11??C??2dx，F(x)x?x??1x?C。
例3 已知f?(cos2x)?sin4x，求f(x)。
解 因为f?(cos2x)?sin4x?(1?cos2x)2，f?(x)?(1?x)2 所以f(x)??f?(x)dx??(1?x)dt?x?x?2213x?C.
3评注：求出f(x)的导函数f?(x)后，求f(x)即求f?(x)的原函数，也就是求f?(x)的不定积分。
例4 已知f(x)?min{x,x}，求?f(x)dx
?x, x?0?22解 因为f(x)?min{x,x}??x, 0?x?1，所以
?x, x?1?2??xdx, x?0???2f(x)dx???xdx, 0?x?1
???xdx, x?1?3
?12?2x?C1, x?0??13??x?C2, 0?x?1 ?3?12?x?C3 x?1?2又因为f(x)的不定积分?f(x)dx一定可导——
?f(x)dx的导数就是f(x)，所以
?f(x)dx必为连续函数，所以由?f(x)dx在分界点x?0、1处的连续性知
C1?C2，
13?C2? 1612?C3
记C1?C2?C，则C3???C，从而有
??12?2x, x?0??13f(x)dx?C??x, 0?x?1
?3?121?x? , x?16?2（二）利用基本积分表直接求不定积分
例5 求?解
1x(1?x)22dx.
?x12(1?x)2dx?1??1?dx ???x21?x2????x?2dx??1?x12dx
??1x?arctanx?C
例6 计算?x62x621?xdx
解
?1?xdx??(x?x)?(x?x)?(x?1)?11?x42644222dx
???(x?x?1??xxdx?5411?x2)dx
?xdx?2?dx??1?x12dx
?
5?x33?x?arctanx?C
4
例7 求
?cosx?sinxdx.
cos2xcosx?sinxcosx?sinx22cos2x解
?cosx?sinxdx???dx
?(cosx?sinx)(cosx?sinx)cosx?sinxdx
??(cosx?sinx)dx
??cosxdx??sinxdx
?sinx?cosx?C评注：以上三例可见直接积分法是将被积函数进行恒等变形，使所求积分能套用积分公式。
（三）应用及综合问题
例8 已知函数y?f(x)有极值2，其图形过点(0,3)，其导函数f?(x)的图形是过点
(1,0)且不平行于y轴的直线，求f(x)
解 由题意f?(x)?k(x?1)，从而
x2 f(x)??f?(x)dx??k(x?1)dx?k(2?x)?C，
又y?f(x)过点(0,3)，f(0)?3。由上式知，C?3。
x2故 f(x)?k(2?x)?3
显然x?1是f(x)唯一的极值点，所以f(x)在x?1处取到极值2。从而由f(1)?2可得k?2 所以 f(x)?2(x22?x)?3?x?2x?3
2 例9 解答下列问题
（1）设f(x)在(??,??)内有定义，对任意x、y?(??,??)都有
f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy
而且f?(0)?1，求f(x)。
（2）设f(x)在(0,??)内有定义，对任意x、y?(0,??)都有
5