典型例题
（一）第一换元法（凑微分法）
例1 求下列不定积分
1（1）?x2x?2dx； （2）?3axx2dx；
（3）?cos3xlndx； （4）?12tanx2dx；
sinxsinxln3（5）?xlnxln232x?1dx（x?e）； （6）?x1?lnx12xdx。
解 （1）?xx?2dx??x?2?xdx?32132?(x?2)d(x?2)
33x?2?u3???112?u3293du?293u2?C
u?x?233???1(x?2)2?C
11x1 （2）? （3）?axx21dx?3?ax?1x21dx???ad2x1xx?u?? ??audu??auu?lna?C?? ?axlna?C
cosxsinxdx??cosx?cosxsinxdx??(1?sin2x)sinxdsinx
3 ??sin?12xdsinx??sin2xdsinx
1?2sin2x?255sin2x?C
ln2tanx2dx?ln2tancosxx2?1dx?x222ln2tancosx22 (4)
?sinx?lnsin2x2?tanlnx22x2dx2
tanx2???ln2secx2dx2xtanx?tan2?lntan32dtanx x2x22?C
?
tanx2dlntan11
2?13tan （5）?1xlnxln2dx?x?1?dlnxlnxln2?x?1?ln2dlnxx1?1ln2 xd1lnx1ln2 ???1???arcsinx1lnx?C
（6）?lnx1?lnxx32dx??lnx1?lnx?lnxdlnx
222 ??[1?(1?lnx ??12131212)]?1xln??(d232)?(1x ln2)22?[(1?lnx)?(1?lnx)]d(1?lnx)
23??(1?lnx)?22155(1?lnx)2?C
2 评注：
从例1六个不定积分的求解过程可以看出，第一换元法（凑微分法）通常是从被积函数
g(x)中分解出一个函数?(x)，使得?(x)与dx可凑成d?(x)，同时g(x)中剩下的另一部
分函数恰好是以?(x)为内函数的复合表达式。这个对被积表达式g(x)dx“凑”微分的过程可概括如下
g(x)dx 分解 h(x)?(x)dx 凑微分 f[?(x)]d?(x)
第一个分解过程不仅要保证?(x)与dx可以“凑”微分（容易找到函数?(x)使得，还要同时想到第二个过程中凑出微分d?(x)后，被积??(x)??(x)，即d?(x)??(x)dx）
函数中留下的函数h(x)恰好可以是符合表达式f[?(x)]
另外，凑微分的过程可能要连续进行多次。如本例中第（4）小题，先将
成dtan12dx凑微分
x2x2，外面有以
x2为内函数的复合函数sec1tanx22x2；再凑secdtanx22x2dx2?dtanx2，外面又有以
为内函数的复合函数；最后凑
1tanx2?dlntanx2，外面最终剩下以
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lntanx2为内函数的复合的函数ln2tanx2。于是将原不定积分化为了?u2du。
例2 求下列不定积分
ln(1?1)（1）?1?lnx(xlnx)3dx； （2）?xdx； x(x?1)（3）? [分析]
arctanxarctan1xdx
x(1?x)dx； （4）?1?x2该例四个不定积分当中被积函数形式看上去都很复杂，似乎很难下手。
但是如前所述，不定积分的“凑”微分往往都是要从被积函数中分解出一个函数而凑出微分表达式，凑好后外面留下的函数正好是凑进去的函数的复合表达式。这就告诉我们，如果我们能够发现被积函数是函数?(x)及其导数??(x)构成的，并且能够把??(x)凑进微分符号里而成d?(x)，那么凑微分的目的就达到了。所以我们用凑微分法计算不定积分时，要“眼观六路”，尽可能发现或者猜想被积函数中的一些导数关系，从而发现该如何“凑”微分。
具体地说，该例第一个不定积分中有函数1?lnx及xlnx，如果我们大胆去猜想或发现它们的导数关系，就恍然明白，1?lnx就是xlnx的导数，所以1?lnx可以凑进微分符号而成dxlnx。按照这样的思路，读者不难猜想或者发现第二、三、四个被积函数中导数关系，如下解答。
解 （1）?1?lnx(xlnx)dx?3?(xlnx)d(xlnx)3??12(xlnx)?2?C
ln(1?1（2）?11121xdx???ln(1?)dln(1?)??ln(1?)?C
x(x?1)xx2x1)?1?111??(?2)?? --------猜想ln(1?)的导数：?ln(1?)?? 1xxx(x?1)x??1?x（3）?arctanxx(1?x)dx?2?arctanxdarctanx?[arctanx]?C
2--------猜想arctanx的导数：arctan?x???11?x2x?1
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arctan1xdx???arctan1xdarctan1x??23[arctan1x3（4）?1?x2]2?C
?1111???(?2)??-------猜想arctan的导数：?arctan?? 21x?xx1?x?1?2x1例3 求下列不定积分
（1）?x(1?x)6dx； （2）?tan（3）?1?lnx(x?lnx)253xsecxdx；
dx
12（1）分析：此题不能简单地将xdx凑成dx，因为凑好后外面的(1?x)不是以x为
262内函数的复合表达式。考虑到(1?x)6的复杂性，我们期望将原不定积分凑成
?f(1?x)d(1?x)的形式。
解：原式=?[1?(1?x)](1?x)6dx??(1?x)dx?67(1?x)dx ? ???(1?x)6d(1?x)??(1?x)7d(1?x) ?(1?x)77?(1?x)88?C
53（2）分析：将被积表达式tanxsecxdx分离出secxtanxdx而凑成dsecx，剩下的
tan4xsec2x可利用三角函数关系而化为secx的幂函数。
解：原式? ??tan4xsec22xdsecx
22?(secx?1)secxdsecx
642 ??[secx?2secx?secx]dsecx
?17secx?725secx?513secx?C
3532注意：为什么不把tanxsecxdx分离出secxdx而凑成dtanx呢？因为这时剩下的
5函数tanxsecx虽然也能表示成tanx的函数：tan5x?tan2x?1，但不定积分
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2uu?1du不仅在基本积分表中找不到，反而因为被积函数出现根号而显得更难办了。 ?（3）分析：因为所给不定积分的被积函数的分子是两项差的形式，分母是平方的形式，所以根据商的微分法则，可以考虑将被积函数凑出d1xx2f(x)g(x)。如果要凑商
fg的导数，那么被
积函数的分子1?lnx?被积表达式中分解出
?x?lnx?1?f?g?fg?，就不难发现f?lnx，g?x。从而将dx就可以凑出dlnxx1?lnxlnxx。当然这只是问题的一方面，另一方面还
1?lnx(x?lnx)2希望外面留下的函数也能成为以为内函数的复合表达式。事实上，当分离
出
1?lnxx2后，剩下的函数为
1lnx???1??x??2=
1u2为变量u?1?lnxx的函数。而微分dlnxx又
可以凑成d?1???lnx??，从而可以求出原不定积分。 x?解：原式??1(1?lnxx)2?1?lnxx2dx
??(1?lnxx)?2d(1?lnxx)??1?1lnxx?C??xx?lnx?C
[评注]
我们就例1至例3中题目的解答给了较详细的分析或点评，希望读者能够体会凑微分“凑”的要点。但是凑微分纯粹是一个熟能生巧的技巧性问题，读者只有通过足够量的练习，才能深谙其间的奥妙，其方法与技巧才能运用自如。
下面是一些可用凑微分法来求不定积分的常见类型。
12??f(ax?b)dx?f(x)xdx?2?f(ax?b)d(ax?b)，
21f(x2?)d(x)，
x2??f(e)edx?f(lnx)xdx?xx?f(e)d(e)，
x?f(lnx)d(lnx)，
?f(sin
x)cosxdx??f(sinx)d(sinx)，
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