?12[t?ln|t?1|?4ln|t?2|]?C
?12[x?ln2x?1(x?2)242]?C
例13 求下列不定积分 （1）?dxsinx?tanx； （2）?sinxsinx?2cosxdx。 x2?t，则
解：这些是三角有理函数的不定积分，可以使用万能代换公式，令tan2t1?t2sinx?，cosx?1?t1?t22，tanx?2t1?t2，dx?11?t2dt
（1）?dxsinx?tanx??1212t1?t2?2t1?t142?221?t2dt??1?t2t2dt
?ln|t|?t?C?12ln|tanx2|?14(tanx2)?C
22t（2）?sinxsinx?2cosxdx??221?t?dx 222t2(1?t)1?t?221?t1?t ??(1?t?t?22t2)(1?t)2dt
设所以
t(1?t?t)(1?t)22?At?Bt?12Ct?Dt?t?1，解得A?25，B?15，C??25，D?15，
2
?sinx?sinx5dt dx?2?525dt?2?252coxst?1t?t?1252t?1?2t?1 ?dt ?t?1222 ?ln(t?1)?arctant?ln|t?t?1|?C
555?t2t?12?1dt?252?t2t?12其中t?tanx2。
评注：对三角有理函数作不定积分时，使用万能代换将其化为有理函数的积分，方法上式可行的，但是一般来说该方法计算量很大，所以要尽可能避免使用而选择更合适的方法。
例14 求下列不定积分
26
（1）?（3）?sinxdxsinx?cosx1sinxcosx433； （2）?dx9cosx?4sinx22；
dx。
分析：该例中两个积分的被积函数都是三角有理函数，而且这些三角函数都具有较高幂次，如果使用万能代换，直接计算量将会非常大，所以我们寻求更简便的方法。
解：（1）?sinxdxsinx?cosx233??sin12tanx2xtanx?cosx22dx
dt1?t2令tanx?t，则cosx?1?t，sinx?t221?t，dx?（如果使用万能代换，
显然原积分被积函数中sin3x与cos3x的表达式就会复杂得多）
tt22原式??1?t?11?t22?t221?tdt??t13t3?1dt
?1316??(t?1)?(t?t?1)(t?1)(t?t?1)d(t?t?1)1?2?t?t?12222dt??11dt?2??1d tt?t?13tt?1 ?dt(t?12)?234?31lnt|?1 |?1616ln(t?t?1)?213arctan2t?13?13ln|t?1|?C
?ln(tanx?tanx?1)?213arctan2tanx?13?132ln|tanx?1|?C
（2）?dx9cosx?4sinx22??cosdx2x(9?4tanx)2??9?4tand(2taxnsecxdx2x
??9?162dtanx4tanx2322?1?22?3) 2(2xtan) ?1sinxcosx4arctan(tanx)?C
（3）?dx??sinx?cosxsinxcosxsinx44dx
1??cosxdx??sinxcos27
2xdx
?????1313dcosxcosx34??sinx?cosxsinxcosx2222dx
secx?3?cossinxxdx??sinxdx
1secx?secx?ln|csx?cotx|?C
例15 求下列不定积分 （1）?（3）?x?1?1x?1?1dx； （2）?1?x1?xdx；
13(x?1)(x?1)24dx； （4）?2x?1?x?4x2dx。
解：这是简单无理函数的积分。 （1）设
x?1?t，则x?t2，dx?2tdt， x?1?1x?1?1t?1t?t?2tt?12?dx??t?1?2tdt?2?dt
1?(1dt) t?1 ?2?[t?2(t?1?1)2dt]?t?t?1?4 ?t2?4t?4lnt|?1? |C ?(x?1)?4x?1?4lnx(? ?x?41?x1?x1? )1C?1 x?1?4ln(x?1?1)?Ct?1t?122（2）[法一] 令?t，则x?，dx?24tdt(t?1)dt
22，于是
?1?x1?xdx?2?2t222(1?t)dt?4?t?1?1(1?t)22?4arctant?4?1(1?t)22dt
由递推公式
In??(tt2dt2?a)2n???t?(2n?3)In?1? ?222n?12a(n?1)?(t?a)?1知?1(1?t)2dt?2121?t(??1?t1dt)?2121?t(t2?arctant)，所以
28
1?x
?1?x1?xtdx?2(arctta?n?C)?2(arctan?21?x1?t1?x1?x1?x1?1?x?C)
?2(arctan1?x1?x?121?x)?C
2 [法二] 令x?cos2t，则dx??2sintdt，1?x1?x?costsint，于是
?1?x1?xdx??sint(?2sin2t)dt??2?2coscost2tdt
??2?(1?cots2dt)??t(2? ??(arccxos?（3）由于3 Cstin?2?1x2?C)
x?1x?11(x?1)(x?1)24?1(x?1)(x?1)3，可设3x?1x?1?t，则x?t?1t?133，
dx??6t322(t?1)dt，所以原积分
?13(x?1)(x?1)24dx??312t?1t?1?2t33?t??6t322(t?1)dt
??333x?13dt??t?C???222x?12?C
（4）?2x?1?x?4x2dx???d(?x?4x)?x?4x2?122?3?dx?x?4x22 ???(?x?4x) ??2?x2d(?x?4x)?3?x?2?3arcsin2?C
d(x?2)2?(x?2)22
?4x评注：求简单无理函数的不定积分的一般方法是，选择适当的变换，说要想办法去掉被积函数中的根号，将原积分化为有理函数的积分。但是也不能太机械，不是每个时候非要去根号不可，例如该例中的第（4）题，通过简单的拆分与二次式的配方，就把原积分转化成了基本积分公式。
29
（四）应用及综合问题
例16 已知f(x)的一个原函数为xcosx，求?xf?(x)dx。 解：?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?xf(x)?xcosx?C
又f(x)?(xcosx)??cosx?xsinx，所以
?xf?(x)dx2?x(cosx?xsinx)?xcosx?C??xsinx?C
例17 设f?(sin2x)?cos2x?tan2x，求f(x)222(0?x?1)
sin2解 由于f?(sinx)?cos2x?tanx?1?2sinx?故 于是
f?(x)?1?2x?f(x)?x21?sinx
x1x??2x?11?x
1??2?2x?dx??x?ln(1?x)?C????1?x?前面我们讨论了不定积分的主要积分方法，下面我们再回头讨论中值定理一章中遇到过的一个问题——如何证明一个等式在??(a,b)处成立。如果该等式涉及到函数的导数，我们一般可以采用罗尔定理去证明。根据罗尔定理的结论，这时需将等式改写成??(?)?0的形式。也就是说改写后，如果等式右边为零，则我们需要将等式左边看作一个函数?(x)在?处的导数。?(x)就是解决这类问题的一个辅助函数。如何构造?(x)呢？既然等式左边是
?(x)在?处的导数，将?换成变量x后，就得到?(x)的导函数??(x)的表达式。所以从理论上讲，求辅助函数?(x)的问题，就是求??(x)的不定积分的问题①。不过，因为这类问题证明的等式中都包含一些不具体的抽象函数，不定积分的直接计算具有难度，所以我们更多的时候是根据求导数的经念、根据一些导数公式，通过对等式左边函数的深入分析而获得
?(x)。虽然如此，下面我们还是举两个例子说明，很多时候用不定积分的方法也能找到辅助函数?(x)。
例18 设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且对任意的x?(a,b)有 是需要指出的是，我们要证明的等式已经化为右边为零的形式，所以左边可以再乘以一个函数。很多
时候需要将左边乘上一个合适的函数以后，才能够找到函数?(x)使其导数恰为左边函数（视?为x）。
①
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