g?(x)?0，证明：
（1）对于[a,b]上任意两个不同的点x1及x2，有g(x1)?g(x2)。 （2）至少存在一点??(a,b)，使得
f(?)?f(a)g(b)?g(?)?f?(?)g?(?)。
分析：问题（2）属于一个等式在中值点?处成立的证明问题，可由罗尔定理证明。将要证明的结论改写为
[f(?)?f(a)]g?(?)?[g(b)?g(?)]f?(?)?0
根据罗尔定理，上式左边即可看作一个函数（辅助函数）?(x)在?处的导数，从而
??(x)?[f(x)?f(a)]g?(x)?[g(b)?g(x)]f?(x)
下面，我们就用不定积分的方法去计算?(x)。
?(x)???[f(x)?f(a)]g?(x)?[g(b)?g(x)]f?(x)?dx
??[f(x)?f(a)]g?(x)dx??[g(b)?g(x)]f?(x)dx ??[f(x)?f(a)]dg(x)?分部积分公式?g(b)f?(x)dx??g(x)f?(x)dx
?????????[f(x)?f(a)]g(x)? ??f?(x)g(x)dx??g(b)f?(x)dx
?g(x)f?(x)dx?g(b)f?(x)dx
?[f(x)?f(a)]g(x)??[f(x)?f(a)]g(x)?g(b)f(x)?C
只需要找出这样的一个函数即可，故可取C?0。
证明：（1）由题设知，函数g(x)在以x1和x2为端点的闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有
x)??g?()2(x? g(x2)?g(11x?)在x1与x2之间 ，
又因为g?(?)?0，x2?x1?0，所以g(x2)?g(x1)?0。
（2）设?(x)?[f(x)?f(a)]g(x)?g(b)f(x)。由题设知，?(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而且?(a)??(b)??f(a)g(b)，由罗尔定理，至少存在一点??(a,b)，
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使得??(?)?0，即 f?(?)g(??)亦即
f(?)?f(a)g(b)?g(?)?f?(?)g?(?)[f?(?)fa(?)g]??()gb?(f?)? (
例19 设函数f(x)在[0,1]上有连续导数，在(0,1)内二阶可导，且f(0)?f(1)?0，证明：至少存在一点??(0,1)，使得2f?(?)??f??(?)?0
分析：还是用罗尔定理证明，但此例结论中含有二阶导数，罗尔中值定理要用两次。怎样作辅助函数呢？将等式中的?换成变量x后，得
2f?(x)?xf??(x)?0
由罗尔定理，左边应看作某个函数的导数，故用不定积分的方法，将上式积分
2f(x)??xf??(x)dx??A
2f(x)?xf?(x)?f?(x)dx?A
f(x)?xf?(x)?A?0
如果这又是罗尔定理的结论，左边又要看作导函数，再积分之
?f(x)d?x?xd(f)?x?Ax B即有 xf(x)?A?x B?0 所以取?(x)?xf(x)?Ax?B，有时还要根据罗尔定理要求的端点值相等而确定参数
A与B，本题取A?B?0就可以了。
证明：设?(x)?xf(x)。由题设知，?(0)??(1)?0，?(x)在[0,1]上有连续导数，在(0,1)内可导，由罗尔定理，存在??(a,b)使得??(?)?0。又??(x)?f(x)?xf?(x)，
??(0)?0。这样??(x)在区间[0,?]上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点??(0,1)，使得???(?)?0，即有2f?(?)??f??(?)?0。
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