f(xy)?f(x)?f(y)
而且f?(1)?2，求f(x)（x?0）。
分析 本例的两个问题属于同一种类型：如何根据函数满足的和、差、积等运算关系去求出该函数。这类问题一般可以考虑用导数的定义求出函数的导数，再用不定积分求出原函数。使用导数的定义时，涉及到函数的增量运算，函数满足的加减等四则运算条件正好可以用到。
解
（1）取x?y?0得f(0?0)?f(0)?f(0)，即有f(0)?0，
f?(x)?limf(x?h)?f(x)h?0 ?limhf(x)?f(h)?2xh?f(x)hf(h)?f(0)h?2x
h?0
?limh?0 （?f(0)?0）
?f?(0)?2x?1?2x
所以f(x)??2f?(x)dx??(1?2x)dx?x?x?C
再由f(0)?0得C?0，于是f(x)?x?x2。
（2）取x?y?1得f(1)?f(1)?f(1)，即有f(1)?0， f?(x)?limf(x?h)?f(x)hh?0
f[x(1?hxh)]?f(x) ?limh?0
hx)?f(x)f(x)?f(1? ?limh?0h
f(1?h ?limh?0xhx2x)?f(1)?1x （?f(1)?0）
?所以f(x)?1xf?(1)?2x
?f?(x)dx??dx?2lnx?C
再由f(1)?0得C?0，于是f(x)?2lnx。
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二、不定积分的积分方法 内容提要
1、换元积分法
（1）第一换元积分法
定理 设u??(x),??(x),f(u)均连续，且已知F(u)是f(u)的一个原函数，则
?f[?(x)]??(x)dx??f(u)du?F[?(x)]?C
这种方法又称为凑微分法。
如何应用凑微分法求不定积分？设所求不定积分为?g(x)dx，如果被积函数g(x)可以化为g(x)?f[?(x)]??(x)的形式，则被积表达式g(x)dx?f[?(x)]d?(x)，那么
?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)
令u??(x)，则?g(x)dx??f(u)du，那么g(x)的积分就转化为函数f(u)的积分。
如果能求得函数f(u)的原函数，也就可以得到g(x)的原函数。
因此使用凑微分法的关键就是将g(x)写成f(?(x))??(x)的形式，或者将g(x)dx凑位分后得到f[?(x)]d?(x)的形式。 （2）第二换元积分法
定理 设f(x)连续，x??(t)是单调的可导的函数，并且??(t)?0，那么
?f(x)dx???f(?(t))??(t)dt?t???1(x)
其中t???1(x)为x??(t)的反函数。
第二换元法与第一换元法相反，方法上不是“凑”微分，而是直接将不定积分?f(x)dx中的积分变量x替换成一个函数?(t)，从而被积表达式f(x)dx替换成f(?(t))??(t)dt。
不定积分中需要第二换元法的情形多种多样，还换形式也灵活多变。但当被积函数是“含根号”的无理函数时，有一类常用的“去根号”的三角替换格式：
a?x22?????acost （a?0，?a?x?a，?令x?atant令x?asint?2?t??t??t??2） ） ）
22a?x?????asect （a?0，???x??，??2?2x?a22?????atant （a?0， |x|?a， ?令x?asect?2?2 7
2、分部积分法
定理 设u(x)与v(x)是x的可微函数，则
?uv?dx?uv??u?udx 或 ?udv?uv??vdu
以上两式称为分部积分公式。
使用分部积分公式时，首先要将不定积分?f(x)dx凑成?uv?dx或者?udv的形式，这一点与不定积分的“凑微分”类似（但不同的是，凑微分后函数u(x)不必是以v(x)为内函数的复合表达式）。所以使用分部积分公式之前，也是要将被积函数进行“分解”并凑微分，将被积表达式f(x)dx凑微分成为u(x)dv(x)。选取函数u、v所遵循的原则是，分部积分公式中第二项的不定积分?vdu??vu?dx要更容易求得。
几种常见情形下“凑”微分（凑udv）的固定格式： ① 多项式与三角函数
?x?nnsinxdx???xdcosx， 选取u?x nnxdsinx ， 选取u?x
nxcosxdx??n② 多项式与指数函数
?x?nedx?x?xndex， 选取u?xn
③ 多项式与对数函数
xlnxdx?n1n?1?lnxdxn?1， 选取u?lnx
④ 多项式与反三角函数
sinxsinxdx?1n?1sinxdxn?1
?xarcncosxtanxcotx?arccosxtanxcotx， 选取u?arccosxtanxcotx
2、特殊类型函数的不定积分 （1）有理函数类的不定积分
有理假分式
P(x)Q(x)总可以用Q(x)除P(x)化为一个多项式T(x)和真分式之和。而多项式
的不定积分是容易求出的。因此计算有理函数的不定积分主要是计算有理真分式的不定积分。
真分式分解定理 设Q(x)有质因式分解
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Q(x)?(x?a)?(x?b)(x?px?q)?(x?rx?s)??2?2v
则有理真分式
P(x)Q(x)能唯一地写成下列部分分式之和： A1A2(x?a)2P(x)Q(x)?x?a????A?(x?a)???
?B1x?b?B2(x?b)2?????(x?b)?
?M1x?N1x?px?q2???M?x?N?(x?px?q)2???
?U1x?V1x?rx?s2?U2x?V2(x?rx?s)22???Uvx?Vv(x?rx?x)2v
其中Ai，Bj，Mk，Nk，Um，Vm?R。
这样有理式的积分问题，就归纳为下面四种简单分式的积分：
?Ax?aAdx，?B(x?a)kdx，?Cx?Dx?px?q2dx，
?(xEx?F2?px?q)kdx(k?1)
① ② ③
?x?adx??(x?a)k?x2?BAln|x?a|?C1(x?a)2k；
d(x?a)?B?k?1(x?a)?k?1dx?B?dx?C；
Cx?Dpx?q(p?4q?0)。 p2p2)?D?)?q?p2p22?xCx?D2C(x?dx?1?px?q?(x?Cp2dx 2p4dx?(D?12Cp)?(x?1p2)?q?2x??C?(x?p2?)?q?p2dx44 ?Ex?Fpx?q)kC22lnx?px?q?22D?Cp4q?p2arctan2x?p4q?p2?C
④
?(x2?dx(p?4q?0,k?1)
p2??(xEx?F2?px?q)kdx （令t?x?）
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?E2?Ep?1?dt?F?dt ??2222k?2?(t?a)(t?a)?p22t其中a?q?24，?2t(t?a)22kdt?11?k?1(t?a)22k?1?C?11?k?1(x?px?q)2k?1?C，而第二
个积分可以由分部积分公式给出递推公式： In?
（2）三角有理函数类的不定积分
三角有理函数可以使用三角代换——万能替换公式换元后化为有理函数。
·万能替换 令tanx2?t(???x??)或x?2arctant，则
?(tdt2?a)2n?12a2n(??t?21(a?)t?n2???1(2n?3I)n?1? )?2tansinx?1?tan1?tancosx?1?tandx?11?t2x22x2x?2t1?t2
222?1?t
x1?t222dt
2?2t1?tR?,?1?t21?t2?·?R(sinx,cosx)dx???2??dt。 ?1?t2?（3）简单无理函数类的不定积分
该类函数主要使用不定积分的第二换元法。其换元方式灵活多样，通常想法是通过适当的换元去掉被积函数中的根号，然后再对不含根号函数作不定积分。
学习重点
各种不定积分方法
学习难点
“凑微分”技巧
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