1983年试题 (理工农医类)
一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内. (1)两条异面直线,指的是
(A)在空间内不相交的两条直线.
(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.
(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线. (D)不在同一平面内的两条直线. 【 】
(A)两条相交直线. (B)两条平行直线. (C)两条重合直线. (D)一个点. 【 】
(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是
(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.
(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零. 【 】
【 】
【 】
(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.
(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法. 四、计算行列式(要求结果最简):
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六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.
八、已知数列{an}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和Sn=a1+a2+?+an(n≥1),并且S1,S2,?,Sn,?是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1). (1)证明
a2,a3,?,an?,
(即{an}从第2项起)是一个等比数列.
九、(1)已知a,b为实数,并且eba. (2)如果正实数a,b满足ab=ba,且a<1,证明a=b.
1983年试题(理工农医类)答案
一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.
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(1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.
二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力. 解:(1)图形如右所示. 交点坐标是: O(0,0), P(1,-1).
(2)曲线名称是:圆. 图形如下所示.
三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.
所以3名代表中至少有1名女同学的选法有
所以3名代表中至少有1名女同学的选法有
四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.
解法一:把第1列乘以sin?加到第2列上,再把第3列乘以(-cos?)加到第2列上,得
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解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得
解法三:把行列式按第2列展开,得
解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得
五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.
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