1984年试题(理工农医类)答案
一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
(2)x<-2;
(4)-20; (5)0;
三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.
解:
四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a. ∵ α∩β=c, α∩γ=b,
从而c与b或交于一点或互相平行.
(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.
所以a,b,c交于一点(即P点).
(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a. 所以a,b,c互相平行.
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五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力. 解法一:由原对数方程得
cx2+d=1.
这个不等式仅在以下两种情形下成立: ①c>0,1-d>0,即c>0,d<1; ②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
解法二:原对数方程有解的充要条件是: (1)x>0,
cx2+d=1.
因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:
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(1)x>0, (5)x≠1,
这个不等式仅在以下两种情形下成立: ①c>0,1-d>0,即c>0,d<1; ②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.
六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.
(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以 (-2p)2-4q<0,q>p2>0.
由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的
短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,
解法二:同解法一,得q>p2>0.
根据实系数一元二次方程的求根公式,得
可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的
注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出
(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行
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于x轴.
即
这就是所求的轨迹方程.
七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.
a=6,b=8.
如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则
如图建立坐标系,则内切圆方程为 (x-2)2+(y-2)2=4.
设圆上动点P的坐标为(x,y),则
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因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是 S最大值=88-0=88, S最小值=88-16=72.
解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2. 内切圆的参数方程为
所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而
因为0≤α≤2π,所以 S最大值=80+8=88, S最小值=80-8=72.
八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.
(1)证明:先证明xn>2(n=1,2,?).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知
再由归纳假设知不等式(xk-2)2>0成立,所以不等式xk+1>2也成立.从而不等式xn>2对于所有的正整数n成立.
数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:
所以不等式xn>2(n=1,2,?)成立.
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