由方程组
解得直线QM和直线l的交点B的坐标为
根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:
从而得 x2-y2+2x-2y+8=0,(*) 即
又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.
七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法. (1)证法一:用数学归纳法.
假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即
当n=k+1时,可得
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即
也成立.
从而不等式对所有的正整数n都成立. 证法二:直接证明. 由于不等式
对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到
又因
以及
因此不等式
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对所有的正整数n都成立. (2)由(1)及bn的定义知
于是
八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力. 解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得 (n,na+b)=(m,3m2+15), 即
由此得出,存在整数n使得 na+b=3n2+15, 或写成
na+b-(3n2+15)=0.
这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是
当且仅当
时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n2≠3,所以上式中等号不可能成立.即 d>12.
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所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.
解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n使得na+b=3n2+15,即 b=3n2+15-an. (*) 由(2)成立,得 a2+b2≤144.
把(*)式代入上式,得关于a的不等式
(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.(**) 它的判别式
Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2[(3n2+15)2-144] =-36(n2-3)2.
但n是整数,n2-3≠0,因而Δ<0.
又因1+n2>0,故(**)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.
解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n使得
3n2-an-(b-15)=0.(*)
于是,它的判别式非负,即 Δ=a2+12b-180≥0,(**) 由(**)得 12b-180≥-a2. 由(2)成立知 a2+b2≤144,(***) 即 -a2≥b2-144.
因此,12b-180≥b2-144, 即 (b-6)2≤0, 由此得出b=6.
把b=6代入判别式(**),得出a2≥108,但把b=6代入(***),得出a2≤108,因而必有a2=108.
此时,从(*)式可解出
所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立. 九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.
解:已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y′=3x2-12x+11. 在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是
点P处切线方程是
设这切线与y轴的截距为r,则
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根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值.因为
当0
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