2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分.)
1、 曲线y?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的拐点是（ ） A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2、设数列?an?单调减少，且liman?0。Sn?n??234?ai?1ni无界，则幂级数
?an?1?n的收敛域为(x?1)n（ ）
A （?11] B [?11) C [02) D (02]
3、 设函数f(x)具有二阶连续的导数，且f(x)?0.f?(0)?0。则函数z?lnf(x)f(y)在点
(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
A f(0)?1C f(0)?1?f??(0)?0 B f(0)?1f??(0)?0 D f(0)?1?0f??(0)?0 f??(0)?0
JK的大小关系
?04、设I??40lnsinxdx J??4lncotxdx K??4lncosxdx，则 I是（ ）
A I?J?K B I?K?J C J?I?K D K?J?I
5、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B的第二行与第3行得到单
?100??100?????位阵E，记P1??110?，P2??001?，则A=（ ）
?001??010?????A P1P2 B P2P1 D P1P2 C P2P1 6、设A?(?1?2?1?1?3?4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是Ax?0的一个基础
*解系，则Ax?0的基础解系可为（ ）
1
A
?1?3 B ?1?2 C ?1?2?3 D ?2?3?4
F2(x)为两个分布函数，且连续函数f1(x)7、设F1(x)f2(x)为相应的概率密度，则必为概
率密度的是（ ）
A f1(x)f2(x) B 2f2(x)F1(x) C f1(x)F2(x) D f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 8、设随机变量X,Y相互独立，且EX,EY都存在，记U?max?X,Y?V?min?X,Y?，则
EUV?（ ）
A EU?EV B EX?EY C EU?EY D EX?EV
二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线y??x0tantdt(0?x?x?4)的弧长为_____________
10、微分方程y??y?ecosx满足条件y(0)?0的解为________________ 11、设函数F(x,y)??2xy0?2Fsintdt，则2|x?0?______________ 1?t2?xy?2212、设L是柱面方程x?y?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针
方向，则曲线积分
?Ly2xzdx?xdy?dz?_________
22222213、若二次曲面的方程x?3y?z?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y1?y2?4，则a?_______
__ 14、设二维随机变量(X,Y)~N(?,?,?,?,0)，则E(XY)?__________
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
222ln(1?x)ex?1) 15、（本题满分10分） 求极限lim(x?0x
2
1
16、（本题满分9分）
设函数z?f(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续的偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取得极值
?2z|x?1 g(1)?1.求
?x?yy?117、（本题满分10分）
求方程karctanx?x?0的不同实根的个数，其中k为参数。 18、（本题满分10分） ①证明：对任意的正整数n，都有②设an?1?111?ln(1?)?成立； n?1nn11?............??lnn(n?1,2......)，证明数列?an?收敛. 2n
19、（本题满分11分）
已知函数f(x,y)具有二阶连续的偏导数，且f(1,y)?f(x,1)?0,??f(x,y)dxdy?a，其中
D??(x,y)dxdy D??(x,y)|0?x?1,0?y?1?计算二重积分??xyfxyD 20、（本题满分11分）
?2?(0,1,1)，设向量组?1?(1,0,1)，?3?(1,3,5)T不能由向量组?1?(1,1,1)，?2?(1,2,3)，?3?(3,4,a)T线性表示；
（1） 求a的值；
（2） 将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示；
3
TTTT
21、（本题满分11分）
?11???11?????A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?00???00?
?-11??11?????求（1）A的特征值与特征向量 （2） 矩阵A
22、（本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布分别为 X 0 1 P Y -1 13 23 0 1 P 且PX13 13 13 ?2?Y2?1
?求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2）Z?XY的概率分布
（3） X与Y的相关系数?XY
23、（本题满分11分）
?设X1,X2?Xn是来自正态总体N(?0,?2)的简单随机样本，其中?0已知，
为样本均值和样本方差.
求（1）求参数?的最大似然估计?22?0未知.X,S2?2
(2) 计算E?
?2和D??2
4
2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）
??x2（1）极限lim???（ ） x??(x?a)(x?b)??x（A）1 （B）e （C） ea?b （D）eb?a
yz??0。（2）设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定，其中F为可微函数，且F2xx则x?z?z?y?（ ） ?x?y（A）x （B）z （C）?x （D）?z （3）设m、n为正整数，则反常积分?1m0ln2(1?x)nxdx的收敛性（ ）
（A）仅与m有关 （B）仅与n有关 （C）与 m、n都有关 （D）与 m、n都无关
（4）lim??n??i?1nn?（ ） 22(n?i)(n?j)j?1x01111 （B）dydx?0?0(1?x)(1?y)dy (1?x)(1?y2)1111dy （D）?dx?dy 200(1?x)(1?y)(1?x)(1?y)n（A）?dx?01（C）?dx?01x0（5）设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，且AB?E，其中E为m阶单位矩阵，
则（ ）
（A）R(A)?R(B)?m （B）R(A)?m，R(B)?n （C）R(A)?n，R(B)?m （D）R(A)?R(B)?n
)?3，（6）设A是4阶实对称矩阵，且A2?A?O，若R(A则A相似于（ ）
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