设幂级数
?axnn?0?n在(??,??)内收敛，其和函数y(x)满足
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
（Ⅰ）证明：an?2?2an,n?1,2?； n?1（II）求y(x)的表达式.
（21） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有
?2?x1?4x2?ax3?0公共解.
（22） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵. （I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
（23） (本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
53 f(x,y)??（I）求P?X?2Y?；
?2?x?y,0?x?1,0?y?1.
其他?0,(II) 求Z?X?Y的概率密度.
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（24） (本题满分11分)
设总体X的概率密度为
?10?x???2?,??1f(x)??,??x?1
?2(1??)?0,其他??(X1,X2,?,Xn) 为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.
??（I）求参数的矩估计量?；
（II）判断4X是否为?的无偏估计量，并说明理由.
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2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
xln(1?x)?
x?01?cosxy(1?x)（2）微分方程y??的通解是 x（1）lim（3）设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧，则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?
?（4）点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离d?
（5）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则 B?
??12?（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1? -------
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，
???y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
?（8）设f(x,y)为连续函数，则
221?x2?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
01（Ａ）
?0dx?22xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?0dy?1?y2yf(x,y)dx. (D) ?220dy?1?y20f(x,y)dx .
（9）若级数
?an?1?n收敛，则级数
23
(A)
?an?1?n收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D) ?n?1?an?an?1收敛. 2n?1（10）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （11）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. （12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得
?110???C，记P??010?，则
?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP. （Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. （13）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有
TT?1?1 24
(A) P(A?B)?P(A) (B) P(A?B)?P(B)
(C) P(A?B)?P(A) (D) P(A?B)?P(B)
2（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且
PX??1?1?PY??2?1 则必有
(A) ?1??2 (B) ?1??2
(C) ?1??2 (D) ?1??2 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分I=（16）（本题满分12分）
设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?) （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；
n???????22?1?xydxdy. 22??1?x?yD1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n???xn?（17）（本题满分12分） 将函数f(x)?x展成x的幂级数. 22?x?x（18）（本题满分12分）
设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2满足等式
??2z?2z??0. ?x2?y2（I）验证f??(u)?f?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.
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