(16)（本题满分12分） 计算曲线积分的一段.
(17)（本题满分12分）
?sin2xdx?2?xL2?1?ydy，其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0??x2?y2?2z2?0已知曲线C:?，求C点距离XOY面最远点和最近的点.
?x?y?3z?5(18)（本题满分12分） 函数连续，(19)（本题满分12分）
f?x?F?x???f?t?dt0x，证明
F?x?可导，且
F??x??f?x?.
f?x??1?x2，用余弦级数展开，并求
?n?1???1?n2n?1的和
(20)（本题满分9分）
A???T???T，?T为?的转置，?T为?的转置
（1）证r(A)?2；（2）若?,?线性相关，则r(A)?2. （21）（本题满分9分）
?2a1??2?a2a??A?????1???T2X?x,?,xa2a????n?n，现矩阵A满足方程AX?B，其中1n设矩阵，
B??1,0,?,0?（1）求证
，
A??n?1?an（2）a为何值，方程组有唯一解，求
x1
（3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解 （22）（本题满分9分）
设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，概率密度为3?10?y?1，记Z?X?Y fY?y????0其它
16
（1）求P?Z???1?X?0? 2?（2）求Z的概率密度． （23）（本题满分9分）
1nx1,x2,?,xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.记x??xi，
2S2?1nn?1?(xi?x)2，T?x2?1S2i?1n（1）证 T是?2的无偏估计量. （2）当??0,??1时 ，求DT.
ni?117
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与x等价的无穷小量是 （A）1?ex? （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ] 1?x（2）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?论正确的是：
?x0f(t)dt，则下列结
（A）F(3)??
35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ]
18
（5）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （6）设曲线L:f(x,y)?1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限
内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （A）（C）
??Tf(x,y)dx. （B）?f(x,y)dy
TTf(x,y)ds. （D）?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ ]
T（7）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]
?2?1?1??100?????（8）设矩阵A???12?1?,B??010?，则A与B
??1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为
（A）3p(1?p). （B）6p(1?p).
（C）3p(1?p). （D）6p(1?p) [ ] （10）设随机变量?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为 (A) fX(x). (B) fY(y).
222222 19
(C) fX(x)fY(y). (D)
fX(x)
. [ ] fY(y)
二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）
?2111exdx? =__________. 2x?z? __________. ?x（12） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(xy,yx)，则
2x（13） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e的通解为y?________. （14） 设曲面?:|x|?|y|?|z|?1，则
????x?|y|?dS?
??0?0（15）设矩阵A???0??0100??010?3
，则A的秩为 . 001??000?1的概率为 . 2（16）在区间?0,1?中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于
三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)
求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?小值. （18）（本题满分10分） 计算曲面积分 I???x,y?|x2?y2?4,y?0?上的最大值和最
??xzdydz?2yzdzdx?3xydxdy，
?y2(0?z?1) 的上侧. 其中?为曲面z?1?x?42（19） (本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
（20） (本题满分10分)
20