?1?2?1??C???2?1???214141?41???6?1?. 6??1??6?
?1?2?1?D???4?1????6?1214161?2??1??. 4??1??6?（6）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵
?OA???的伴随矩阵为（ ） BO???O3B*??A??*?.
O??2A?O3A*??C??*?.
O??2B
?OB???*?3A?O?D??*?3B2B*??. O?2A*??. O??x?1??，其中??x?为标准正态分?2?
（7）设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??布函数，则EX?（ ） ?A?0.
?B?0.3. ?C?0.7.
?D?1.
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率分布为
P?Y?0??P?Y?1??间断点个数为（ ）
1，记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ?z?的2
?A?0.
?B?1. ?C?2. ?D?3.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
?2z（9）设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则? 。
?x?y（10）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次
x方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为 。
11
（11）已知曲线L:y?x（12）设??22??x,y,z?x?0?x?2?，则?xds? 。
?y?z?1，则???z2dxdydz? 。
?T22?L（13）若3维列向量?,?满足?T??2，其中?为?的转置，则矩阵??T的非零特征值
为 。
(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本，X和S分别为样本均值
222和样本方差。若X?kS为np的无偏估计量，则k? 。
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值。
??（16）（本题满分9分）设an为曲线y?xn与y?x??n?1n?1n?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记
S1??an,S2??a2n?1，求S1与S2的值。
x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点?4,0?（17）（本题满分11分）椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成。 且与椭圆43（Ⅰ）求S1及S2的方程
（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积。 （18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在???a,b?，
使得f?b??f?a??f?????b?a?
f??x??A，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim则f???0??x?0存在，且f???0??A。
（19）（本题满分10分）计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x12
2?y2?z322，其中
??是曲面
2x2?2y2?z2?4的外侧。
（20）（本题满分11分）
?1?1?1???1?????1? ?1??1? 设A???11?0?4?2???2?????①求满足A?2??1的?2. A2?3??1的所有向量?2,?3. ②对①中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3无关。
222（21）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1?y2，求a的值。
（22）（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求pX?1Z?0；
（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布。 （23）（本题满分11 分）
????2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，X1，X2,?Xn是
?0,其他来自总体X的简单随机样本
(Ⅰ)求参数?的矩估计量； （Ⅱ）求参数?的最大似然估计量
13
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数f(x)??x20ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数（ ）
?A?0.
?B?1. ?C?2.
?D?3.
（2）函数f(x,y)?arctanx在点(0,1)处的梯度等于（ ） y
?A?i.
?B? ?i. ?C? j. ?D? ?j.
（3）在下列微分方程中，从y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解
的是（ ）
?A?y????y???4y??4y?0.
?B?y????y???4y??4y?0. ?D?y????y???4y??4y?0.
?C?y????y???4y??4y?0.
（4）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛.
?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
3
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
（5）设A为n阶非零矩阵E为n阶单位矩阵若A?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆.
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?x???（6）设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)A?y??1在正交变换下的标准方程的图
?z???形如图，则A的正特征值个数（ ）
14
?A?0.
?B?1. ?D?3.
?C?2.
（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?X?，则Z?m ax?X,Y?分布函数为（ ）
?A? F2?X?.
2
?B? F?X?F?Y?.
?C? 1???1?F?X???. ?D? ??1?F?X?????1?F?Y???.
（8）随机变量X?N?0,1?，Y?N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）
?A? P?Y??2X?1??1.
?B?P?Y?2X?1??1. ?D?P?Y?2X?1??1.
?C?P?Y??2X?1??1.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. （10）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （11）已知幂级数
?an?x?2?在x?0处收敛，在x??4处发散，则幂级数?an?x?3?的
n?0n?0?n?n收敛域为?????????????????. （12）设曲面?是z?4?x2?y2的上侧，则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?（13）设A为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量，Aa1?0,Aa2?2a1?a2，则A的非零特征值为?????????????????.
2（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX??????????????????.
??三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）
sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. 4x?0x
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