（20）（本题满分9分）
222已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.
（I） 求a的值；
（II） 求正交变换x?Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准形； （III） 求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
?123???（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246????36k??（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
（22）（本题满分9分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??
0,其他.?求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）Z?2X?Y的概率密度fZ(z).
（23）（本题满分9分）
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记
Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求：（I）Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
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2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . （2）已知f?(ex)?xe?x，且f(1)=0, 则f(x)=__________ .
（3）设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，则曲线积分__________.
?Lxdy?2ydx的值为
d2ydy?4x?2y?0(x?0)的通解为. __________ . （4）欧拉方程x2dxdx2?210???***（5）设矩阵A?120，矩阵B满足ABA?2BA?E，其中A为A的伴随矩阵，
????001??E是单位矩阵，则B? __________ .
（6）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?DX}= __________ .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把x?0时的无穷小量????x0costdt,???tantdt,???sint3dt，使排在
002x2x后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) ?,?,?. (B) ?,?,?. (C) ?,?,?. (D) ?,?,?. [ ] （8）设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得
(A) f(x)在（0，?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减少. (C) 对任意的x?(0,?)有f(x)>f(0) .
(D) 对任意的x?(??,0)有f(x)>f(0) . [ ]
（9）设
?an?1?n为正项级数，下列结论中正确的是
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(A) 若limnan=0，则级数
n???an?1?n收敛.
（B） 若存在非零常数?，使得limnan??，则级数
n???an?1?n发散.
(C) 若级数
?an?1??n收敛，则limnan?0.
n??2(D) 若级数
?an?1n发散, 则存在非零常数?，使得limnan??. [ ]
n??（10）设f(x)为连续函数，F(t)??dy?1ttyf(x)dx，则F?(2)等于
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ] （11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
?010???(A) 100. (B) ????101???010??101?. (C) ????001???010??100?. (D) ????011???011??100?. ????001?? [ ]
（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ ] （13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足
P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于
(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? . [ ]
221n（14）设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0. 令Y??Xi，
ni?1则
(A) Cov(X1,Y)?
?2n. (B) Cov(X1,Y)??2.
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(C) D(X1?Y)?n?22n?12?. (D) D(X1?Y)??. [ ] nn22（15）（本题满分12分）
2设e?a?b?e, 证明lnb?lna?4(b?a). e2（16）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k?6.0?10). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
注kg表示千克，km/h表示千米/小时. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分
I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy, ???6其中?是曲面z?1?x?y(z?0)的上侧.
（18）（本题满分11分）
设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当
???1时，级数?xn收敛.
n?1?n22（19）（本题满分12分）
222设z=z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和
极值.
（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,(n?2)
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分9分）
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?12?3??? 设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对????1a5??角化.
(22)（本题满分9分）
设A,B为随机事件，且P(A)?111,P(BA)?,P(AB)?，令 432 X???1,A发生,?1,B发生, Y??
0,0,A不发生;B不发生.??求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数?XY.
（23）（本题满分9分）
设总体X的分布函数为
1??1??,x?1, F(x,?)?? xx?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，求：
（I） ?的矩估计量； （II） ?的最大似然估计量.
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