?1??1??1???????1?11? （C）?? （D）? （B）?（A）????????1?11??????000????????1????1?????1??0????0,x?0?1?1（7）设随机变量X的分布函数为F(x)??,0?x?，则
2?21??x1?e,x???2P{X?1}?（ ）
（A）0 （B）
11 （C）?e?1 （D）1?e?1 22（8）设f1(x)为标准正态分布的概率密度函数，f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率
??af1(x),x?0密度函数，若f(x)??（a?0，b?0），则a，b满足（ ）
??bf2(x),x?0（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2
二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）
?x?e?td2y?（9）设?，则2t2dxy??ln(1?u)du?0??
t?0（10）??20xcosxdx?
（11）已知曲线L的方程为y?1?x（?1?x?1），起点为(?1,0)，终点为(1,0)，则?xydx?x2dy? L（12）设??{(x,y,z)x2?y2?z?1}，则?的形心坐标z? 6
?1??2??1???????112（13）若?1???，?2???，?3???，若由?1,?2,?3形成的向量组的秩为2，
?0??1???1???????2???a??0?则
a? （14）设随机变量X的分布为P{X?k}?C（k?0,1,2,...），则EX2? k!三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（15）（本题满分10分）
求微分方程y???3y??2y?2xex的通解。 （16）（本题满分10分） 求f(x)??x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值。
n12（17）（本题满分10分）
（I）比较?lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt（n?1,2,3,...）；
001（II）记un??lnt?ln(1?t)?dt（n?1,2,3,...），求limun。
0n??1n（18）（本题满分10分）
(?1)n?12n求幂级数?x的收敛域与和函数。
2n?1n?1?（19）（本题满分10分）
设P为椭球面?1:x2?y2?z2?yz?1上的动点，若?1在点P处的切平面与xoy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分I????(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?是椭
球面?1位于曲线C上方的部分。 （20）（本题满分11分）
7
11????a??，??，已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解。 设A??0??10b????1??1?1?1??????（I）求?，a； （II）求Ax?b的通解。 （21）（本题满分11分） 设二次型f(x1,x2,x3)?XTAX在正交变换X?QY下的标准型为y12?y22，且
Q的第三列为(22T,0,)。 22（I）求A； （II）证明A?E为正定矩阵。
（22）（本题满分11分） 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
f(x,y)?Ae?2x求A及fYX(yx)。
2?2xy?y2，???x???，???y???。
（23）（本题满分11分）
23??1设总体的分布律为X~?，其中??(0,1)为未知参数，以Ni表22??1???????示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i（i?1,2,3）的个数，求常数a1,a2,a3，使T??aiNi为?的无偏估计量。
i?13
8
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小，则（ ）
11a?1,b??a?1,b?. . AB????6611?C?a??1,b??6. ?D?a??1,b?6.
（2）如图，正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为
??ycosxdxdy，
Dk y 1 四个区域Dk?k?1,2,3,4?，Ik?则max?Ik??（ ）
1?k?4D1 ?A?I1.
?B?I2. ?C?I3.
-1 ?D?I4. D2 D3 -1 D4 1 x
（3）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
f(x)O 0 -1 x-2 1 2 3 x
则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）
0 9
f(x)1 0 -1 f(x)1 -2 1 2 3 x
?B?.
-2 -1 0 1 2 3 x
?A?.
f(x)1 0 f(x)1 -1 1 2 3 x
-2 0 -1 1 2 3 x
?C?.
n???D?.
（4）设有两个数列?an?,?bn?，若liman?0，则（ ）
?A?当?bn收敛时，?anbn收敛.
n?1n?1???
?B?当?bn发散时，?anbn发散.
n?1n?1??? ?C?当
?bn?1?n收敛时，
?abn?122nn收敛.
?D?当?bnn?1发散时，
?abn?1?22nn发散.
（5）设?1,?2,?3是3维向量空间R的一组基，则由基?1,?2,?3到基
3
1213?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为（ ）
?101?
?
220?A????. ?033???
?120?
??
?B??023?.
?103???
10