（19）（本题满分12分）
设在上半平面D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t?0都有
f(tx,ty)?t?2f(x,y). 证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L（20）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解.
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； （Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. （21）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??. （22）（本题满分9分）
设随机变量X的概率密度为
TTT?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，
?4?0, 其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.
2(Ⅰ) 求Y的概率密度fY?y?
26
(Ⅱ) F???1?,4?. ?2?（23）（本题满分9分）
设总体X的概率密度为
0?x?1,??,?f?x;????1??,1?x?2,
?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值
x1,x2...,xn中小于1的个数，求?的最大似然估计.
27
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
x2（1）曲线y? 的斜渐近线方程为
2x?1（2）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为 9(1,2,3)??ux2y2z21??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n??n612183（4）设?是由锥面z?个边界的外侧，则
= .
x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整
??xdydz?ydzdx?zdxdy?
?（5）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B?
（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
P{Y?2}=
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数.
28
（9）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?一阶导数，则必有
?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有
?2u?2u?2u?2u (A) 2??2. （B） 2?.
?x?y?x?y2?2u?2u?2u?2u(C) ?2. (D) ?2.
?x?y?x?x?y?y（10）设有三元方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，
在此邻域内该方程
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).
（11）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0.
**（12）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B
的伴随矩阵，则
(C) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.
*****(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则
(B) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1
(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4
（14）设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则
29
2
***
(B) nX~N(0,1) (B) nS2~?2(n).
(n?1)X12(n?1)X~t(n?1) (D) n~F(1,n?1). (C)
S?Xi2i?2三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）
设D?{(x,y)x?y?数. 计算二重积分
222,x?0,y?0}，[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整
22xy[1?x?y]dxdy. ??D（16）（本题满分12分）
求幂级数
?(?1)n?1(1?n?1?1)x2n的收敛区间与和函数f(x).
n(2n?1)（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
?(x032?x)f???(x)dx.
（18）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （19）（本题满分12分）
设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
??(y)dx?2xydy2x?y24L的值恒为同一常数.
（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有
??(y)dx?2xydy2x2?y4C?0；
（II）求函数?(y)的表达式.
30