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6．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2. 若以O为坐标
原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内. 将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在点C处. （1）直接写出A的坐标；
（2）若抛物线y?ax2?bx（a?0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3)若(2)中抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过
P作y 轴的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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y C B O A x 慧通教育网www.chinahtwf.com
解： 17 y C B O A x 慧通教育网www.chinahtwf.com
6.解：（1）A（23，0） … …………………… 3分 （2）过点C作CH⊥x轴，垂足为H
由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=23 ∴∠COH=60°，OH=3，CH=3
∴C（3，3）…………………………… 5分
∵抛物线y?ax?bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点
2??a??1?3?3a?3b ∴? 解得：? ………………………………… 7分
2?b?23??0?23a?23b ∴此抛物线的解析式为：y??x2?23x
2????解法一：（3）存在.
因为y??x2?23x的顶点坐标为（3，3）即为点C …………………… 8分 作MP⊥x轴，垂足为N，设PN＝t，因为∠BOA=30，所以ON=3t
0
∴P（3t，t）…………………………………………………………………… 9分 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
3t代入y??x2?23x得：y??3t2?6t
22 ∴ M（3t，?3t?6t），E（3，?3t?6t） …………………………… 10分 同理：Q（3，t），D（3，1）
把x? 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD（这时△PQD≌△MEC）
2 即3??3t?6t?t?1，解得：t1?
??4
，t2?1（不合题意，舍去）……… 11分 3
∴ P点坐标为（
443，） …………………………………………………… 12分
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∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（解法二： （3）存在。
由（2）可得：y??x2?23x=?443，）.
33?x?3?2?3得顶点坐标为（
， 3，3）
即点C恰好为顶点；…………………………………………………………………8分 设MP交x轴于点N，∵ MP∥y轴，CH为抛物线的对称轴
∴MP∥CD且CM与DP不平行 ∴四边形CDPM为梯形
若要使四边形CDPM为等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC 由∠PDC=∠ODH=900–∠DOA=600，则∠MCD=600
又∵ ∠BCD=900–∠OCH=600，∴∠MCD=∠BCD，
∴ 此时点M为抛物线与线段CB所在直线的交点 ………………… …………9分
设BC的解析式为y?mx?n
由（2）得C（3，3）、B（23，2）
?3??3?3m?n?m??∴? 解得：?3 ??n?4?2?23m?n? ∴直线BC的解析式为y??3x?4…………………………………………10分 3?y??x2?23x43?x?由? 得 ，x2?3 133x?4?y??3?∴ON=
43………………………………………………………………………11分 3在Rt△OPN中，tan∠PON=
PN4 得PN? ON3443，）……………………………………………………12分
33443，） ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标为（
33∴P点坐标为（
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7. 已知：如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=acm, AC=bcm, a＞b,且a、b
是方程x2–(m–1)x + (m+4)=0 的两根，当AB＝5cm时，（1）求a何b；（2）若△A’B’C’ 和 △ABC完全重合，当△ABC 固定不动将△ABC 沿C’B所在直线向左以1cm/s的速度移动，设移动x秒后△A’B’C’与△ABC 与的重叠部分的面积为ycm2，求y与x之间的函数关系式；几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于 cm2？
A’ A 38P B’ B C’ C 20