兰州理工大学毕业论文
计算及测量噪声和所有信号源来波，第m个阵元的输出信号为： xm(t)??Sk(t)exp?[j(m?1)k?1D2?dsin?k?]?nm(t) （3.6）
其中nm(t)是测量噪声，所有标号为m表示该量属于第m个阵元，所有标号 为k表示该量属于第k个信号源。 设
?[j(m?1) am(?k)?exp2?dsin?k?] （3.7）
为第m个阵元对第k个信号源的响应函数。 则第m个阵元的输出信号为：
xm(t)??am(?k)Sk(t)?nm(t) （3.8）
k?1D其中Sk(t)是第k个信号源在阵元上的信号强度。 运用矩阵的定义，可以得到更为简洁的表达式：
X=AS+N （3.9 ）
式中
X?[x1(t),x2(t),...xM(t)]T （3.10）
S?[S1(t),S2(t),...SD(t)]T （3.11）
A?[a(?1),a(?2),...a(?D)]T
11...1???e?j?1??j?2?j?De...e? （3.12） =??............???j(M?1)?1?j(M?1)?2?e...e?j(M?1)?D??e2?dsin?k （3.13） ?k?? N?[n1(t),n2(t),...,nM(t)]T （3.14）
对xm(t)进行N点采样，要处理的问题就变成了通过输出信号xm(t)的采样
{xm(i),i?1,2,...,M}估计出信号源的波达方向角?1,?2,...,?D。
由此，可以很自然的将阵列信号看作是噪声干扰的若干空间谐波的叠加，从而将波达方向估计问题与谱估计联系起来。
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3.3阵列协方差矩阵的特征分解
对阵列输出x作相关处理，得到其协方差矩阵Rx：
Rx?E[XXH] （3.15）
其中，H表示矩阵共轭转置。
前面已假设信号与噪声互不相关、且噪声为零均值白噪声，因此将式(3.9)代入式(3.15)，可以得到：
Rx?E[(AS?N)(AS?N)H]
=AE[SSH]AH?E[NNH]
=ARsAH?RN （3.16） 式中
Rs?E[SSH] （3.17）
称为信号的相关矩阵。
RN??2I （3.18）
是噪声的相关矩阵，?2是噪声功率，I是M*M阶的单位矩阵。
?实际应用中，通常无法直接得到Rx，能使用的只有样本的协方差矩阵Rx：
?1 Rx?N?X(i)Xi?1NH(i) （3.19）
?Rx是Rx的最大似然估计，当采样数N??时，它们是一致的，但实际情况中将由于样本数有限而造成误差。
根据矩阵特征分解的理论，可以对阵列协方差矩阵进行特征分解。首先考虑理想情况，即无噪声的情况：
Rx?ARsAH （3.20）
对于均匀线阵，矩阵A是由式(3.12)所定义的范德蒙德矩阵，只要满足：
?i??j i?j （3.21）
则，它的各列相互独立，这样，若Rs为非奇异矩阵（Rank(Rs)?D，各信号源两两不相干），且M>D，则有：
rank(ARsAH)?D （3.22）
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由于Rx?E[XXH]，所以有：
Rx?Rx （3.23）
即Rx是Hermite矩阵，它的特征值都是实数。又由于Rs是正定的，因此矩阵ARsAH是半正定的，它有D个正特征值和M-D个零特征值。 再考虑有噪声存在的情况
Rx?ARsAH??2I （3.24）
由于?2>0，Rx为满秩阵，所以Rx有M个正实特征值?1,?2,...,?M，分别对应于M个特征向量v1,v2,...vM。又由于Rx是Hermite矩阵，所以各特征向量是相互正交的，即：
H vivj?0 i?j （3.25）
H与信号有关的特征值只有D个，分别等于矩阵ARsAH的各特征值与?2之和，其余的M-D个特征值为?2，也就是说，?2是R的最小特征值，它是M-D维的。对应的特征向量
vi，i=1,2，…，M中，也有D个是与信号有关的，另外M-D个是与噪声有关的，在下一
节里，将利用以上这些特征分解的性质求出信号源的波达方向?k。
3.4 MUSIC算法的原理及实现
通过对阵列协方差矩阵的特征分解，可以得到如下结论： 将矩阵Rx的特征值进行从小到大的排序，即
?1??2?..?.?M?0 （3.26）
其中D个较大的特征值对应于信号，M-D个较小的特征值对应于噪声。
矩阵Rx的属于这些特征值的特征向量也分别对应于信号和噪声，因此，可以把Rx的特征值(特征向量)划分为信号特征值(特征向量)与噪声特征值(特征向量)。
设?i是矩阵Rx的第i个特征值，vi是与?i个相对应的特征向量，则有：
Rxvi??ivi （3.27）
再设?i??2是Rx的最小特征值
Rxvi??2vi i=D+1，D+2，…M （3.28）
将
Rx?ARsAH??2I （3.29）
代入上式，可得：
?2vi?(ARsAH??2I)vi （3.30）
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将上式右边展开与左边比较，可得：
ARsAHvi?0 （3.31）
因AHA是D*D维的满秩矩阵，(AHA)?1存在；而Rs同样存在，则上式两边同乘以
?1Rs(AHA)?1AH后变成：
Rs(AHA)?1AHARsAHvi?0 （3.32）
于是有
AHvi?0 i=D+1，D+2，…，M （3.33）
上式表明：噪声特征值所对应的特征向量(称噪声特征向量)vi，与矩阵A的列向量正交，而A的各列是与信号源的方向相对应的。这就是利用噪声特征向量求解信号源方向的出发点。
用各噪声特征向量为列，构造一个噪声矩阵En：
En?[vD?1,vD?2,..v.M,] （3.34）
定义空间谱Pmu(?)： Pmu(?)??1?11a(?)EnEna(?)HH =
1Ena(?)H2 （3.35）
该式中分母是信号向量和噪声矩阵的内积，当a(?)和En的各列正交时，该分母为零，但由于噪声的存在，它实际上为一最小值，因此Pmu(?)有一尖峰。由该式，使?变化，通过寻找波峰来估计到达角[22]。
MUSIC算法的实现步骤：
(1)根据N个接收信号矢量得到下面协方差矩阵的估计值：
1 Rx?N?X(i)Xi?1NH(i) （3.36）
对上面得到的协方差矩阵进行特征值分解:
Rx?ARsAH??2I （3.37）
(2)按特征值的大小顺序，把与信号个数D相等的特征值和对应的特征向量看作信号部分空间，把剩下的M-D个特征值和特征向量看作噪声部分空间。得到噪声矩阵En：
AHvi?0 i=D+1，D+2，…，M （3.38）
En?[vD?1,vD?2,..v.M,] （3.39）
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(3)使?变化，按照式
Pmu(?)?1a(?)EnEna(?)HH （3.40）
来计算谱函数，通过寻求峰值来得到波达方向的估计值[23]。
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