y轴上： Fsinθ+ FN = mg ?? ② 摩擦定律：f = μFN ?? ③ 将③代入①，再将②中的FN的表达式代入后得：F =
?mg。
cos???sin?如果用下斜向下的推力F，则要物体匀速运动，F的大小为何值？ 此时只需将方程②改为：FN = mg + F sinθ? ④ 。 由①③④三式可得： F =
?mg。 由本式讨论，可知：当F与水平方
cos???sin?向的夹角θ为某一角度时，不论多大的推力F，都不能推动箱子。F无论多大，即F达无限大，则上式的分母应为零。由此可以令 cosθ －μsinθ = 0 , ∴cot θ = μ.
例2、如图所示，一个质量为m的木块在推力F作用下可沿竖
直墙壁匀速运动，木块与竖直墙壁间的动摩擦因数为μ，F与竖直方向的夹角为θ。求推力F的大小。
解：本题的关键条件是：“沿竖直墙壁匀速运动”，但并未确定向上或向下匀速运动，所以，要分“向上匀速运动”和“向下匀速运动”两种情况处理。即分类讨论。
⑴ 物体匀速向上运动。滑动摩擦力沿墙壁向上，受力情况如图所示。 建立直角坐标系，沿x轴和y轴分解力F。根据共点力平衡条件得： x轴上：F sinθ= FN ??① y轴上：Fcosθ= f + mg ??② 公式： f = μFN ??③ 将①、③代入②后得：F =
mg。
cos???sin?⑵ 物体沿墙壁匀速下滑时，只须将滑动摩擦力方向变为向上，则上面的方程②改写为：F cosθ+ f = mg ??④
由方程①③④可解得：F=
mg。
cos???sin?思考：要使物体贴着墙壁静止，上图中的推力F应取何值。
例3、如图所示，质量为m的物体在不受其它外力时恰能沿斜面匀速下滑，那么要将该物体匀速推上该斜面，需要加多大的水平外力F？已知斜面倾角为θ。
解：物体匀速下滑时，受三个力：mg 、FN、f . 滑斜面方向有
mg sinθ = μmg co sθ , ∴ μ = tgθ.
对物体施以水平推力F时，向上匀速运动。受力情况如图所示。建立直角坐系，将重力mg和推力F分解在两个坐标轴上，由共点平衡条件得：
x轴上：Fcosθ= mgsinθ+f??① 将②③代入①得 F =
sin???cos?mg.
cos???sin?y轴上: FN = F sinθ+ mg co sθ ??② 又将μ=tgθ替换后得： 摩擦定律：f = μ FN ??③ F =
2sin?ccos? mg.
cos2??sin2?点评：解题时注意题目叙述的层次及描述的物理过程，进行分层次表达（用图形或方程），将题目所给条件的文字表达方式翻译或转化成物理图形或数学物理方程，才能对问题有较清晰的理解和把握，才能进行运算。否则永远处于模糊状态。
例4、如图所示的三个共点F1、F2、F3，大小分别为F1= 30N；F2=40N；F3=20N，彼此间的夹角为120°, 求三个力的合力。
解：让直角坐标系的x轴与F2共线。分解F1与F3，则合力F在 x轴上的分力
Fx = F2－F1sin30°－F3sin30° = 40－30×0.5 －20×0.5 = 15N 在y轴上分力
Fy= F1 cos30°－ F3cos30°= 53N. 则合力的大小为 F = 角)。
Fx2?Fy2?103N； 方向由 tg φ =
FyFx(与F2的夹?3/3, φ= 30°
本题的对力的分解是为了求力的合成，也是为了将矢量运算转化为代数运算，从而便于精确求解物理问题。对于受多个力的条件下也是为了方便计算，不然就要一个一个地作平行四边形，这样既费事而且误差还很大。
例5、如图所示，物体的质量为2kg,两根据轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙壁上，另一端系于物体上，且∠BAC = 60° ，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
解：本题的关键是理解“两绳都伸直”的含义：FAB ≥ 0 ??① FAC ≥ 0 ??②
建立如图所示的坐标系，将力F与FAB分解，由共点力平衡条件得：
x轴上：Fcos60°= FABcos60°+ FAC ??③
y轴上：Fsin60° + FABsin60° = mg ??④ 将F看作已知，由④式解得FAB = 2mg /3－F≥0
∴ F 2mg/3。再由③得 F －FAB = 2FAC ,由④式得： F + FAB = 2mg /3。两式相加得：
FAC = F－mg /3≥0 ,∴ F≥mg/3。F的取值范围是：mg/3 ≤ F ≤ 2mg/3 。
点评：本题的技巧是先将F看成已知，通过共点力平衡条件列出水平与竖直两个方向的平衡方程，解出FAB与FAC，再结合“两绳都拉直”的数学含义，最终得到F的取值范围。物理问题要求的物理量或某个量的取值范围通常隐藏在物体在某一状态下应遵守的物理规律中，这些规律往往要通过某个具体的方程来表达。所以，我们在解物理题时，要注意在审题环节中审出关键词语及其具体含义，并用适当的数学式子表达出来；关键词语有时是作为隐含条件的表达形式存在于题目中，关键词容易看出，但它的具体含义却要在做练习题中不断积累。
应用正交分解法解平衡问题的主要步骤是：① 定物体，分析力；②建坐标，分解力；③找规律，列方程；④解方程，得结论。⑤反思关键，形成经验。
（2）、整体法与隔离法
在解物理问题过程应用的整体法，是将几个具有相互作用或影响的物体看成一个整体或系统，进行分析或思考要解决的问题。在平衡问题中，通常所求的目标是某几个外力时，优先应用整体法。这时几个物体通常都处于平衡状态。隔离法是将具有相互作用或影响的物体隔离出来，单独对其中某一个物体进行分析。如果要求物体之间的相互作用力，则必须采取隔离法。整体法与隔离法常常结伴同行，共同处于同一问题，两者是相互依存的关系。
整体法与隔离法的含义和作用并不是这样简单，在今后的学习中还要经常应用到这两种解题方法。把全过程看作一个整体进行分析，是在第二章处理匀变速直线运动时要用到的另一种类型的整体法。
例1、如图所示，两块相同的竖直木板A、B之间有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动。设所有接触面的摩擦因数均为μ，则第三块对第二块砖的摩擦力的大小为多大。
解：以四块砖为整体，所受外力情况：重力4mg、A板对砖块1的静摩擦力和木板B对砖块4的静摩擦力，由对称特点，两个静摩擦力相等，均为f, 所以整体共受三个外力，如图所示。由平衡条件得：
2f = 4mg, ∴ f = 2mg.
以1、2两块砖为整体，其受外力如图所示。因f =2mg，已跟两块砖所受重力2mg平衡，所以，第三块砖对第二块砖的摩擦力 f32 = 0.
同类拓展：将四块砖增加为五块砖，求第三块对第二块的摩擦力。这时，对五块砖构成的整体有： 2f = 5mg, ∴ f = 2 .5mg 。仍取1、2两块
砖为整体，要满足平衡条件，f32 = 0.5mg, 方向竖直向上。如图所示。
类推：如果A、B两板之间夹偶数块同样的砖，则正中接触面无摩擦力；如果是奇数块，则每一个接触面都要受到静摩擦力。方法是要求哪个接触面的静摩擦力，只要想象中把这个接触面分开，对其中一部分作受力分析，就可以求出所要求的摩擦力。这类题目总是先大整体，再小整体（即部分隔离）。
例2、如图所示，A、B为相同的两个木块，叠放在水平地面C上，A、B
用水平绳通过一个滑轮连接在一起，在滑轮上用一个水平力F，恰好使A、B两个木块一起沿水平地面向右匀速运动。不计轻绳和滑轮的质量以及滑轮轴的摩擦，关于A、B间的摩擦力f1和B、C间的摩擦力f2的大小，下列判断正确的是：
A、 f1= F/2, f2 = F/2 ; B、f1= F/2 , f2 = F; C、f1 =0 , f2 = F; D、条件不足，无法判断。
解：以A、B和滑轮为整体，在水平方向平衡，则f2与F构一对平衡力，所以f2应水平向左，大小f2 = F. 只在B、C两个选项中去确定。对滑轮有2 T = F, ∴ T = F/2 。隔离A出来，A木
块在水平方向受二个力而匀速运动，如图所示，所以f1 = T = F/2 .正确选项为B。
例3、有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m,两环间用一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN 和细绳上的拉力T的变化情况是：
A、FN不变，T变大； B、FN不变，T变小； C、FN变小，T变小；D、FN变大，T变小。 解：以P、Q两环为整体，因为OB杆光滑，在竖直方向上，整体受两个外力：重力2mg和水平杆AO对P环的支持力FN，所以FN =2mg为不变量。只能在A、B两个答案中
去选，P环左移后，细绳与竖直方向的夹角θ变小，Q环受到的重力mg为不变量，所以将Q环隔离出来，在竖直方向应用平衡条件有：T cosθ= mg . cosθ↑,∴ T↓。故正确答案为B
例4、如图所示，人的质量为60kg, 人所站立的木板质量为40kg ,人用100N的水平拉力拉绳时，人与木板保持相对静止，而人和木板恰能作匀速直线运动。求：人受到的摩擦力和木板地面的动摩擦因数（g =10N/kg）.
解：设木板和人的质量分别为m1, m2，地面对木板的滑动摩擦力为f1,木板对人的静摩擦力