习题一
3 设A,B,为二事件，化简下列事件：
(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B
4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024
5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.
6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则
4C表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5.
不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为
i4?iC5C5?i;(i?4,3,2,1,0)
3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54 P(C)?1?P(C)?1?4C105?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110?40?60?40?1016?24813?1??1??1??720?772?7212124117在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。 答案：
555? a2 8在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
0?x?a,0?y?a,且0?x?y?a，又 a?x?y??2?x?y?a?x?y?a???x?y?a?x?y,??x?2???y?x?a?x?y,?y?a?2?aa2 ax
P?1 49在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于
1的概率。 41 xy?1 414 x
1
1P(xy?)?4
?11(1?41)dx4x1111111?(x?lnx)1?1??ln4;P(xy?)??ln4 1444444410设A,B,为二事件，设P(A)?0.9,P(AB)?0.36,求P(AB).
解：0.9?P(A)?PA(B?B)?P(AB)?P(AB)?0.36?P(AB).故
P(AB)?0.54.
11设A,B,为二事件，设P(B)?0.7,P(AB)?0.3,求P(A?B). 解： P(B)?0.7,P(AB)?0.3,?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4.
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.
12 设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7 （1）若AB互不相容,求P(B).
若AB互不相容,则P(A?B)?P(A)?P(B).P(B)?P(A?B)?P(A)?0.3 （2）若AB相互独立,求P(B).
若A与B相互独立，则P(B)?P(A?B)?P(A)?P(A)?P(B)?0,7?0.4?0.4P(B),P(B)?0.5 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01， 0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。 解 0.94
14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。 解：A:订日报,B:订晚报.
0.85?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.65?P(AB)， P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?1.15?0.85?0.3.
15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。
解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于 第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：
p?16
10909???0.0909 1009999设
随
机
事
件
A,B,C两两独立,P(AB)?0,已知P(B)?2P(C)?0,且
5P(B?C)?,求P(A?B).
8P(B)?2P(C)531解：?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)
822P(B)?2P(C)531?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)82212?6414P2(B)?12P(B)?5?0,?P(B)??P(B)?
1220?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)?0.5,P(A)?0,1P(A?B)?P(A)?P(B)?0?,217 设A是小概率事件，即P(A)??是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A总会发生（以概率1发生）。
当试验不断地重复进行下去，事件A发生的概率为：
1?limPn(A)?1?lim[1?P(A)]n?1?lim(1??)n?1?0?1
n??n??n??18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,,111,求此秘密被译出的概率。
534解：以A,B,C分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D：表示密码被译出，则
P(D)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4233? 5345
20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。 解：P?1?0.9?0.8?0.7?1?0.504?0.496.
21设A,B,为二事件，设P(A)?0.7,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,求P(A?B). 解：P(AB)?P(A)P(B/A)?0.4?0.6?0.12,
P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.12?0.48,
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.7?0.48?0.82..
22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在20岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：X:表动物寿命,P{X?25/X?20}?P{X?20，X?25}0.4??0.5
P{X?20}0.823某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概
率为85％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 X:发生特大洪水的时刻。
P{30?X?40}?X?30P{X?30,30?X?40}0.05??0.25
P{X?30}0.224 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球
放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。 （1）问取道白球的概率是多少？
（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？
解：解：A: “首先从甲袋中取到白球” B:收到信号“然后从乙袋中取到白球.”; 由题设:P(A)?1221,P(BA)?,P(A)?,P(B/A)?于是: 333212215???? 33329P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?12?P(A)P(B/A)332由贝叶斯公式有:P(A/B)???;
5P(B)5925 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。
解：A,B分别表示第一次、第二次取得的是次品，则
P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A) 211022221???????.1211121112112626一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。
解：A1,A2,A3分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。B:抽出的一个能工作500h
以上
3P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?i?19590480170???0.894
10010010010010010027 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85， （1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。
（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品 P(B)?3?i?1P(Ai)P(B/Ai)?255354402???0.035
100100100100100100（1）
255P(A1)P(B/A1)100100??0.362 由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(B)0.04528用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的
概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
解：A1:“患癌症.” A2:“未患癌症”; B:“检查结果为阳性”; B:“结果是阴性” 由题设:P(A,1)?0.0005P(BA1)?0.95,P(A2)?0.9995,P(B/A2)?0.1于是:
P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?0.0005?0.95?0.9995?0.1?0.100425由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.000475??0.47299;
P(B)0.100425