补充：设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的和矩估计，
解：先求极大似然估计：P{X?k}??kk!e??,k?0,1,?;L(?)??nn?xixi!i?1e??,
lnL(?)?(?i?1nxi)ln??n???i?1nln(xi!)，令
dlnL?0,?d??xii?1???x ?n?0????x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,??6设总体
X服从对数正态分布，即lnX～
求?,?2的极大似然估计。 N(?,?2),???????,??0,x1,x2,?,xn是样本值，解：略
??7设总体X的概率密度，f(x)??(1??)x,0?x?1,其中???1,未知参数为α.，设
?0,其它x1,x2,?xn为其样本值，试求α的极大似然估计和矩估计，
解：矩估计，令X?EX??01x(1??)x?dx???12x?1??,??
??22?xn极大似然估计
nL(?)??(??1)xi??(??1)n(x1?xn)?i?1，
lnL(?)?nln(??1)???lnxi，
i?1ndlnLnnn???lnxi?0,??1??,???1?
nnd???1i?1?lnxi?lnxii?18设X1,X2,?Xni?1是来自参数为?的指数分布的总体X,X的概率密度，
??C?x?(??1),x?C（1）?的矩估计，（2）?的f(x)??,其中C?0已知,??1未知,求：
否则?0,极大似然估计。
解：矩估计，令X?EX?????1?c??xCx??(??1)dx??C?x???1??C????1C.
???1C1C1X?C??X. ?,1??,?,???X?XXX?C极大似然估计
n：
L(?)???C?xi?(??1)i?1n，
lnL(?)?nln??n?lnC?(??1)?lnxi，
i?1ndlnLn????nlnC??lnxi?0,??nd??i?1n,
i?1?lnxi?nlnC布
，
其
分
布
律
为
：
9 设总体
X服从二项分
xxP{X?x}?Cmp(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m.X1,X2,?Xn是来自总体X个样本，求(1)
参数p的矩估计量。(2)p的极大似然估计。
??解：（1）令E(X)?mp?X,?pnnX. mxixiL(P)??P{X?xi}??CmP(1?P)m?xi（2）
xilnL??lnCm?(?xi)lnP??(m?xi)ln(1?P)i?1ni?1nni?1n
i?1i?1nndlnLi?11n??(m?xi)?0,?(1?P)?xi?P?(m?xi)?0,?P1?Pi?1令dP为最i?1i?1nx?x?nmP,?P?.?imi?1?xi大似然估计
10设总体X的概率分布为 X P 0 ?2 1 2?(1??) 2 ?2 3 1?2? 1其中?(0???)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3。求?2的极大似然估计和矩估计，
解：矩估计：令X?EX?1?(2??2?2)?2?2?3?6??3?4?， 又x?1616??1. ??3?4??4??1??884L(?)?P(X?0)?[P(X?1)]2?P(X?2)?[P(X?3)]4（抽样时，X?0出现一次，X?1出现两次，
） X?2出现一次，X?3出现四次，
??2[2?(1??)]2?2(1?2?)4?4?6(1??)2(1?2?)4
LnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?)dlnL628628????0,????6(1??)(1?2?)?2?(1?2?)?8?(1??)d??1??1?2??1??1?2??6(1?3??2?2)?2??4?2?8??8?26?18??12?2?10??12?2?24?2?28??6?0,
14?527?1312?2?14??3?0,???(舍?)2412???7?13 1211设X1,X2,X3是来自总体X的样本，T1?111X1?X2?X3 632212111T2?X1?X2?X3,T3?X1?X2?X3
555333（1） 指出T1,T2,T3中那几个为总体均值均值?的无偏估计， （2） 判断上述无偏估计中那一个较为有效？
解：（1）T1,T2,T3均为?的无偏估计，（2）T3最有效。
12设X1,X2,?Xn是来自总体X～N(?,?)的一个样本，试确定常数C，使C为?2的无偏估计。 解; E[C2?(Xi?1?Xi)2i?1n?1?(Xi?1?Xi)]?c?[E(Xi2?1)?E(Xi2)?2E(Xi?1)E(Xi)](X1,X2,?Xn独立同分布于
2i?1i?1n?1n?1X) ?2c(n?1)[E(X2)?(EX)2]?2c(n?1)?2; ?c?1
2(n?1)213设X1,X2,?Xn是来自总体X～N(?1,?2)的一个样本，设Y1,Y2,?Yn是来自总体
1Y～N(?2,?2)的一个样本，两样本独立，?1,?2未知。 （1） 求?1??2的一个无偏估计。
解：令E(X)?E(Y)??1??2?X?Y得?1??2的一个无偏估计X?Y
2（2） 证明：Sw?1212[?(Xi?X)??(Yi?Y)2]是?2的无偏估计。
n1?n2?2i?1i?1令nn2n1?1)1122n2?1[)?(Xi?X)?(Yi?Y)2] 证明：Sw??n1?n2?2n1?1i?1n2?1i?1nn Sw?2122[(n1?1)SX?(n2?1)SY]
n1?n2?2n而有114页2：
112E(SX)?E[?(Xi?X)2]??2,n1?1i?12E(SY)?12E[?(Yi?Y)2]??2;故E(Sw)??2n2?1i?1n2
??的2倍，试找出常数?,??14 设??212是参数?的两个独立的无偏估计，且?1的方差为??k??k1,k2;使得k1?122也是?的无偏估计，并在所有这些估计中方差最小。
?)??2 解：由已知有k1?k2?1;记D(?2222222??k???D(k1?122)?k12??(1?k1)]??(3k1?2k1?1)??f(k1)
122令:f?(k1)??(6k1?2)?0,k1?,k2?33记15 设总体X～N(?,?2),现从总体取得容量为4的样本值： 1.2， 3.4， 0.6， 5.6，
（1）若已知??3，求μ的置信水平为99％的置信期间。 解：由117页（3.3）因为P{X???n?u?}?1??，故μ的置信水平为1-α=0.99（α=0.01）
2的置信期间为（X??nu0.005,X??nu0.005),而x?2.7,u0.005?2.57即
2.7?3?2.575?2.7?3.8625,(?1,1625,6.5625), 2（2）若已知σ未知，求μ的置信水平为95％的置信期间。 解：由117页（3.5）因为P{X??Sn?t?}?1??，故μ的置信水平为1-α=0.95（α=0.05）
2St0.025(3),而x?2.7,t0.025(3)?3.1824, 211S2?[1.52?1.72?1.92?2.92]?[2.25?2.89?3.61?8.41]?5.72,s?2.395
332.395?3.1842?2.7?3.813,(?1.113,6.518), 即2.7?2的置信期间为（X?参考答案(?0.923,6.323)
16 某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量（单位：g）分别为：
1001， 1004， 1003， 1000， 997， 999， 1004， 1000， 996， 1002， 998， 999。 （1）求μ的置信水平为99％的置信期间。 解：由117页（3.5）因P{X??Sn?t?}?1??，故置信水平为1-α=0.99（α/2=0.005）
2的置信期间为（X?S23t0.005(11),而x?1000.25,t0.005(11)?3.1058,
176.25?6.932,s?2.644 112.644?3.1085?1000.25?2.373,(997.877,1002.623), 即1000.25?3.464S2?（2）求?2的置信水平为95％的置信期间。 解：1-α=0.95（α=0.025）?0.975(11)?3.816,22?0.025(11)?21.920
((n?1)s222?0.025(11)?0.975(11),(n?1)s2)?(76.2576.25,);(3.478,19.82) 21.923.816
17 假设新生婴儿（女孩）的体重服从正态分布，随机抽取15名新生婴儿，测得其体重（g）为: 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540.求：（1）新生婴儿体重的置信水平为95％的置信期间。 （2）新生婴儿体重的方差的置信水平为95％的置信期间。 解：(1)置信水平为（X?1-α=0.95（α/2=0.025）的置信期间为
S15t0.025(14),而x?3096,t0.025(14)?2.1448,
,3295) 即(2818(2) 解：1-α=0.95（α=0.025）?0.975(14)?5.629,22?0.025(14)?26.119
((n?1)s22?0.025(14),(n?1)s22?0.975(14))?(70687,405620)
18为了估计磷肥对农产品的作用，现选20块条件大致相同的土地，其中10块不施磷肥，
另外10块施磷肥，测得平均产量（kg）如下：
不施肥：560， 590， 560， 570， 580， 570， 600， 550， 570， 550， 施肥： 620，570，650，600，630 ，580， 570， 600， 600， 580。
设不施磷肥和施磷肥的平均产量均服从方差相同的正态分布；试对不施磷肥和施磷肥的平