?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,9 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为f(x,y)??（1）求
其它,?0,常数A,(2)X,Y的边缘概率密度。（3）P{0?X?1,0?Y?2} 解：（1）由
1???????????f(x,y)dxdy?A??????(3x?4y)A????edxdy?(e?3x0)(e?4y0)得
0012?A?12
?12e?(3x?4y),x?0,y?0,（2）f(x,y)??
其它,?0,?????12e?3xe?4ydy?3e?3x,x?0 fX(x)??0?x?0,?0,?????12e?3xe?4ydx?4e?4y,y?0 fY(y)??0?y?0,?0,12（3）P{0?X?1,0?Y?2}?12e?3xdxe?4ydy
00???(e?3x0)(e?4y0)?(e?3?1)(e?8?1).
12?cxy2,0?x?1,0?y?1,10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：f(x,y)??（1）求c,(2)
其它,?0,问X与Y是否相互独立？ 解：（画图）cxdx1211ydy?1?c?)dx?1,00231当0?x?1时，fX(x)?6xy2dy?2x.
0?1?c?6
?12?22x,0?x?1,??6xydx?3y,0?y?1, ?故fX(x)??.fY(y)??0.0,其它,??其它,?0,（2）独立。 11 平面区域D由曲线y?1及直线y=0,x=1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在D上服x从均匀分布，求（X,Y）关于X的边缘密度在x=2处的值。 1e21e2解：SD?dxxdy?dx?lnx1?2
101x?e2???111?xdy?1,1?x?2,fX(x)???02?f(2)?. X2x4?0其它,?12略
13设随机变量X,Y相互独立，均服从同一分布，试证：P{X?Y}?证：P{X?Y}?P{Y?X},
1. 2P{X?Y}?P{Y?X}?P{(X?Y)?(Y?X)}?P{?}?1故
P{X?Y}?1. 27,求常数a 914.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件
A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?(a?1)(a?3)7a?13?aa?13?a ?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)????1?922224a2?4a?3a2?4a?32?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0449 57a?ora?3315（1）X和Y是相互独立同分布的随机变量，且
P{X?1}?P{Y?1}?P{X?Y?2}?11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22111,P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?,P{X?Y?4}?,
244（2）求2X的分布。
11注意：由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;
22
16 设(X,Y)的概率分布如下表： Y X-Y X X+Y -1 -2 -1 0 1 23 1 -3 1 12135 ? 12222 121 -2 0 12113 ? 12220 3 -1 -1 12110 222 12求1)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布。 解：略。
17 设X和Y是相互独立的随机变量，X～B(n1,p); Y～B(n2,p);证明Z=X+Y X～
B(n1?n2,p);
证明：P{Z?k}?i?0?P{X?i}P{Y?k?i}
k?ik?in2?(k?i)Cnpq2ik?ikn1?n2?k?(?CnCn)pq12i?0kkki?Cn1i?0
?kpqin1?i
kkn1?n2?k?Cnpq1?n2ik?ik(其中用到组合公式?CmCn?Cm?n)i?018略
19 设随机变量X1～N(1,2);X2～N(0,3),X3～N(2,1),且X1,X2,X3相互独立，求
P{0?2X1?3X2?X3?6},(已知?(1)?0.8413).
解：由62页2X1?3X2?X3～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36), 故由34页有
P{0?2X1?3X2?X3?6}??(??(1)??(0)?0.34136?00?0)??(),(已知?(1)?0.8413). 66??t20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为f(t)??te,t?0，设各周的需要
?0,t?0量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度.
Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)??????f(x1,z?x1)dx1????fX(x1)fX1??2(z?x1)dx1
?x?0,要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,??1
z?x1?而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z, 故fZ(z)??0zx1(z?x1)e?z32x1zx1?zdx1?(?)e23z0z2?z?e,(z?0) 6?z3e?z?故fZ(z)??3!,z?0
?z?0?0,21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：
?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0,f(x,y)??2（1）X与Y是否相互独立，（2）求Z=X+Y的概
?其它,?0,率密度。
解：（1）fX(x)?e??1?x??1(x?y)e?ydy??e?x(x?y)de?y
0202????1??1??e?x(x?y)e?y0?e?x?e?yd(x?y)(注x:常量)022111?? ?xe?x?e?x(?e?y0)?e?x(x?1),2221fY(y)?e?y(y?1),f(x,y)?fX(x)fY(x),不独立.2??z1当z?0时,fZ(z)??f(x,z?x)dx??(x?z?x)e?(x?z?x)dx??02（2）
1?zz12?z?ze?dx?ze.02222.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.
设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202)i?1,2,3,4.令
Y?min{X1,X2,X3,X4}则P{Y?180}?[P{X1?180}]4，而P{X1?180}?1??(1)?0.1587 因
此P{Y?180}?0.000634
23 设随机变量X1,X2,X3相互独立，且Xi服从参数为?i(?i?0)的指数分布，求
P{min{X1,X2,X3}?X2}.
解：X1,X2,X3的联合密度为
????e??1x1??2x2??3x3,x,x,x?0123 f(x1,x2,x3)??123其它,?0,P{min{X1,X2,X3}?X2}?P{X2?X1,X2?X3}????0x22????????2e??2x2dt2?1e??1x1dx1?3e??3x3dx30x2x2???(???2??3)x2?2??2e1dx2?.0?1??2??3(??????x?1?2?3e??1x1e??2x2e??3x3)dx1dx3dx2???
?习 题 四
补充;设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则 D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46
1 设X服从如下表的概率分布： X -1 0 12 1 2 概率 1 31 61 61 121 4求(1)E(X),(2)E(?X?1),(3)E(X2) 解：E(X)?(?1)?11111112?0????1??2??;E(?X?1)? 36261243311111135E(X2)?(?1)2??02????1??4??;
3646124242 设X的概率密度为f(x)??e解：E(X)???x,0?x??,求(1)E(X),(2)E(X2)
其它,?0,xde?x??xe?x00?????0??xe?xdx????1
?????xedx 0??e?x0??E(X2)????2?x??2?x???x??xedx??xde??x2e?x0?2xedx?2 000??3 设随机变量X,Y相互独立，其概率率密度分别为：
?e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1,求E(XY). fX(x)??fY(y)??0,其它.y?5.??0,解： E(XY).?E(X)E(Y)?(独立?02x12dx)?(???5ye?(y?5)dy)
??2x312?(y?5)?(y?5)???()(?yde)?(?ye530?53???(y?5)2?edy)?(5?1)?453
?4 验证f(x)?1?(1?x)2,(???x???)是某个随机变量X的概率密度，但具有这概率
密度的随机变量X的数学期望不存在。 证明：（1）
?????f(x)dx??001???(1?x2)dx??????10?(1?x)x22dx?1
（2）
?????xf(x)dx??xdx?x???(1?x2)dx??00?(1?x)dx
而
????(1?x2)01?ln(1?x2)????；所以??。
5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为