X Pk -2 -1 1 60 1 51 2 53 1 5求Y?X2的分布律。
11 30Y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有： Y?X2 4 -2 1 -1 1 60 0 1 51 1 2 59 3 X Pk 1 5得Y?X2的分布律为
11 30Y?X2 Pk 0 1 7 304 1 59 1 5
11 3022 设随机变量X服从参数为0.7的0—1分布，求X2及X2?2X的分布律。 解：X2参数为0.7的0—1分布。
P{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3,P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7
23 设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?度函数fY(y). 解：对任意的Y.
1?(1?x)2,求Y?2X内的概率密
yFY(y)?P{Y?y}?P{2X?y}?P{X?}??2fX(x)dx
??2y1?2dx，所以： ???(1?x2)y??(y)?fY(y).?FY2?(4?y)2.
24设随机变量X服从U[0,2],求随机变量Y?X2在[0，4]内的概率密度函数fY(y). 解：当0?Y?4时：
FY(y)?P{Y?y}?P{y?X2?y}??f(x)dx
?yXy??0?y0dx??y102dx，所以：
?1,0?y?4,??(y)??4y fY(y).?FY?0,其它.??e?x,x?0,25 设随机变量X的概率密度函数为fX(x)??,求Y?eX的概率密度
?0,x?0,函数fY(y).
解：当Y?1时：FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?0, 当Y?1时：
FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}??所以：
1??0dx??lny?xedx, 1?1?2,y?1,? fY(y).?FY(y)??y?0,y?1.?
补充：设X～N(0,1),(1)求Y?ex的概率密度，（2）求Y?2X2?1的概率密度， (1)Y?g(x)?ex在（??，??）上恒有g?(x)?ex?0,且g(x)有反函数，x?h(y)?lny, 1h?(y)?,??min{e??,e??}?0,??max{e??,e??}???y?(lny)2??12,y?0e故Y的概率密度fY(y)?? y2??y?0,?0,(2)因
Y?2X2?1?1则
Fy(y)?0,(y?1)，
y?12当Y?12时
y?12，
x22Fy(y)?P{2X2?1?y}?P{?y?1?X?2y?1}?y?12??12?e?x2dx?20?012?e?dx2y?1??14,y?1,?fY(y)??2?(y?1)e?y?1?0,
习题三
1.离散随机变量
X与Y相互独立同分布，
P{X??1}?P{Y??1}?11,P{X?1}?P{Y?1}?.求P{X?Y}的概率. 221 P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)?..
2 即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般不会以概率1相等. 2设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表：
X Y 0 1 0 1 2 0.06 b 0.15 0.35 0.09 0.21 (1) 求b,(2)随机变量X,Y是否相互独立？（3）求P{X?1,Y?1} 解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的边缘分布如下表：注意横X竖Y
X 0 1 2 P{Y=j} Y 0 1 P{X=i} 0.06 0.14 0.2 0.15 0.35 0.5 0.09 0.21 0.3 0.3 0.7 1 P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j};i?0,1,2;j?0,1;故X,Y相互独立；
（3）P{X?1,Y?1}?0.06?0.15?0.14?0.35?0.7. 补充题：设P{X?1}?P{Y?1}?P{X?Y?2}?X和Y是相互独立同分布的随机变量，且
11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22111,P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?,P{X?Y?4}?,
24411（2）由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;
223 设P(A)?111?1,A发生,?1,B发生,,P(AB)?,P(BA)?,令X??求Y??0,A不发生,0,B不发生,433??X,Y的联合概率分布。
解：由
1131P(AB)11211P(A)?,P(AB)?,?P(A)?,P(AB)?,P(B)???,P(AB)?43412P(AB)1346
1P(AB)6212P(BA)???,P(BA)??P(BA)?
3933P(A)4111P?P{X?1,Y?1}?P(A)P(B/A)??. 114312121P?P{X?1,Y?0}?P(A)P(B/A)??. 12436321P21?P{X?0,Y?1}?P(A)P(B/A)??.
49128P22?P{X?0,Y?0}?1?p11?p12?p21?.
124设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表： X Y 1 2 P{X=i} 1 2 P{Y=j} 0 1 21 21 31 61 21 32 31 （1）求X,Y的边缘分布律。 解：见上表。
（2）求Y=1的条件下X的条件分布律及X=2的条件下Y的条件分布律。 略。
5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X, Y如下：
?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??, Y??;
1，若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是次品??试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y是
否相互独立？
（1）放回时，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?255,P{X?0,Y?1}?, 363651,P{X?1,Y?1}?, 36364510,P{X?0,Y?1}?, 6666（2）不放回抽样，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?101,P{X?1,Y?1}?, 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，6666不相互独立．
6.随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否独立？
1?,a?x?b,c?y?d,?解 按题意(X,Y)具有联合概率密度f(x,y)??(b?a)(c?d)
?否则.?0,?1?1??,c?y?d,a?x?bfX(x)??b?a, fY(y)??c?d,X及Y是独立的.
??y?dx?b?0,y?c?0,x?a事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当D为矩形区域：a?x?b,c?y?d时，
X与Y分别服从[a,b],[c,d]上的均匀分布，且X与Y独立，反之亦然.
7 随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=
xy(B?arctan)(C?arctan). 223?1求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X与Y是否独立？
解 由分布函数的性质有F(x,??)=0F(??,y)?0,
F(??,??)=1 从而对任意的x,y；有于是，有B?f(x,y)?x?1?y，(B?arctan)(C?)?0(B?)(C?arctan)?0,
2223?2?212?2，C?6?
fX(x)?2?2(4?x2)(9?y2)?(4?x2)，fY(y)?3?(9?y2) 独立。
8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X与Y相互独立，且都服从。N(0,1)分布，规定点
A
落在区域D1?{(x,y)x?y?1}得
222分，点A落在区域
D2?{(x,y)1?x2?y2?4}得1分，点A落在区域D3?{(x,y)x2?y2?1}得0分，
以Z记打靶的得分，写出X,Y的联合概率密度，并求Z的分布律。
x2?y21?2e,???x???,???y???, 解：f(x,y)?2?P{z?2}?极坐标x2?y2?1??f(x,y)dxdyr21?e20r2?1?e201??1?e2.
?12?d???02?rdr?P{z?1}?21?x?y2?4??r2?2f(x,y)dxdy????e21?e?12?e?2.
P{z?0}?x2?y2?4??r2???f(x,y)dxdy????e22?e?2.