29二 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。 解：用Ai,表示第i人击中，i?0,1,2,3，则用Bi,表示恰有i人击中，i?0,1,2,3；
P(B0)?0.6?0.4?0.3?0.082,P(B1)?0.4?0.6?0.7?0.184;P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?0.6?0.6?0.7?0.4?0.4?0.7?0.4?0.6?0.3?0.252?0.112?0.082?0.446P(B3)?0.6?0.4?0.7?0.184P(B)?B:表示敌机被击落，则?0.0368?0.2676?0.184?0.4884i?0?3P(Bi)P(B/Bi)?0.184?0.2?0.446?0.6?0.184?1
P(B3/B)?0,184?0.340.488430 某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求：
（1）该厂产品能出厂的概率。
（2）任取一出厂产品未经调试的概率。
解：A1: “任取一产品，.不需调试即可出厂” A2:“任取一产品，调试后能出厂”; B1:“任取一产品，能出厂.”; B2:“任取一产品，不能出厂” 由题设:P(A1)?0.7,P(B1A1)?1,P(A2)?0.3,P(B1/A2)?0.8于是:
P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?0.7?1?0.3?0.8?0.94
由贝叶斯公式有:P(A1/B1)?P(A1)P(B1/A1)0.770??;
P(B1)0.949431 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是p,求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。
解：X:表示试验成功2次时的试验次数，
X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。
1323
P?[C1p(1?p)]p?4p(1?p).432 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n次才取出k(1?k?n)次红球的概率。
1k?19n?k1k?1k?19n?r1kCn?1()()?Cn() ?1()101010101033灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。
记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}
X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X～b(3,0.8)
01P(X?1)?C30.80?0.23?C30.8?0.22?0.23?3?0.23?4?13?0.23?0.104
34某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r根的概率。
1n C2n?r2n?r
2注：可看作2n?r重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为
11，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为B，则B相当于22“第一盒（即用完的那一盒）中取了n根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了n?r1n1n?r1nn根火柴，”的事件，故P(B)?C2()()?Cn?r2n?r2n?r
222
习题二 38页
1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。 解：样本空间??{tt?0},用X表示灯泡的寿命（h）X?X(t)?t是随机变量。 2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。
{报童赔钱}={0.15X<100}, X?10010?666?X?666 0.15153 若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??,其中x1?x2,求P{x1?X?x2} 解：P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?1????,
?0,X?0?的分布函数F(x)??x2,0?x?1，试求（1）
?1,x?1?4 设随机变量X
131P{X?}(2)P{?1?X?},(3)P{X?}
242111(1)P{X?}?F()?224339113(2)P{?1?X?}?F()?F(?1)?;,(3)P{X?}?1?P{X?}?44162245 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个
数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。 解：X表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X的可能取值为0.1，2。
P{X?0}?30C3C23C5?11??0.1, 5?4102P{X?1}?21C3C23C512C3C23C5?66??0.6, 5?410233??0.3, 5?4102P{X?2}??6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律。 解：P{X?i}?0.1i?10.9;i?1,2,3,4;P{X?5}?1?P{X?4} 即
P{X?1}?0.9,P{X?2}?0.09;P{X?3}?0.009,
P{X?4}?0.0009,P{X?5}?0.0001.7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的分布律。 解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.
12111012111098从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,?,10的概率与i成正比，即
P{X?i}?ki,i?1,2,?,10,求k.
解：由归一性：1?i?1?10P{X?i}??ki?ki?1101?10?11?55k 2k?1. 559 已知随机变量X服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件P{X?N}?0.01的自然数N.
解：0.99?P{X?N?1}?e?1N?11111?(1??k!e2?6)?N?4.
k?010 某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。 发生交通事故X服从参数为λ的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},
20?2??2,P{X?0}?e?e?2,一周内发生交通事故的次数记为Y
0!则Y服从二项分布B(7,1?e?2)，故一周内没有发生交通事故的概率为
0P{Y?0}?C7(1?e?2)0e?14?e?14
11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。 p?0.001，（每个工作时内发生故障的概率）
X：100作时内发生故障的次数，X～b(100,0.001)
P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}012?C1000.999100?C1000.99999?0.001?C1000.99998?0.0012 ?0.1?0.10.12?0.1?e?e?0.999840!1!2!??np?0.1e?0.112设X～U[2,5],现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 P{X?3}?5?32? 5?232Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y～b(3,)，
348202221323 P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3()?C3()???3339272713 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为中发病头数的分布律。
k2k150?kP{X?k}?C50()(),(k?0,1,2,?,50)
332,求在50头已感染的羊群32x,0?x?1,14设随机变量X的概率密度为f(x)??，Y表示对X的三次重复观察中事件?0,?1?139?2123 ?3???X??出现的次数，则P{Y?2}?C3()2?4416464??ax2e??x,x?0, 15已知X的概率密度为f(x)??试求（1）未知系数a,(2)X的分布函数
0,x?0.?F(x);(3)X落在区间(0,解：（1）1? ??1?)内取值的概率。
??2??xa??2??xxedx??xde 00??????f(x)dx?a??a2??x??2a????xxe??xed(??x)0?20分部积分
??2a????xxe??x0?ed(x)22?0?? 32a2a?????e??x0?;?a?.332????2a?e??x225?（2）F(x)??1?2(?x?2?x?2),x?0,(3)1?
2e?0,x?0.?16 设随机变量X在[1，6]内服从均匀分布，求方程x2?Xx?1?0有实根的概率。
解：方程x2?Xx?1?0有实根，等价于：??X2?4?0?X?2,or方程x2?Xx?1?0有实根的概率为P?X??2,
4. 517 已知随机变量X服从正态分布N(a,a2),且Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），求a,b.
解：由37页例3知Y?aX?b服从正态分布N(a?a?b,a2?a2)?N(a2?b,a4)，又已知 Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），故a=1,b= -1.
18已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ X服从参数为λ的指数分布，则f(x)????e??x???x?,x?0,,x?0, F(x)??1??ex?0.x?0.?0,?0,g(?)?P{1?X?2)?(1?e?2?)?(1?e??)?e???e?2?
g?(?)??e???2e?2??e??(2e???1)?0,???ln2.求极大值，求导
19设随机变量 X～N(1,4);求P(0?X?1.6),P(X?1). 解：由35页（5）式有：P{0?X?1.6}??(1.6?10?1)??() 221??(0.3)??(?)?0.6179?(1?0.6915)?0.3094
21?1P{X?1}??()??(0)?0.5.
2,20 设电源电压（单位：V）X服从N(220,252)，在X?200200?X?240,X?240三种情况下电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求： （1）该电子元件损坏的概率α
解：由35页（5）式有：P{X?200}??(200?220)??(?0.8)?1?0.7881?0.2119 25240?220200?220P{200?X?240}??()??()?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0..57622525P{X?240}?1?P{X?200}?P{200?X?240}?1?0.2119?0.5762?0.2119
??0.2119?0.1?0..5762?0.001?0.2119?0.2?0.063
(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。
??0.5762?0.001?0.009
0.06321随机变量X的分布律为：