2 设总体X服从正态分布N(72,100),为使样本均值大于70的概率不少于90％，其样本容量至少应取多少？ 解：由104页（3.3）因为X服从N(72,查表100),?P{X?70}?1?P{X?70}，从而 n?(1.29)?0.90?P{X?70}?1?P{X?70}?1?P{X?7210
70?72教材P34(5)n?}??(),?(x)单增.5n10n故:1.29?n,n?6.452?41.6025,取n?42. 53 设总体X～N(?,?2),?,?2均未知，已知样本容量n?16,样本均值
X?12.5,样本方差s2?5.333,求P{X???0.4}.
解： s?5.333?2.312由104页定理4，
P{X???0.4}?1?PX???0.4?P{X????0.4}.
???????X??t(15)??X??t(15)?P{X???0.4}?1?P???0.692??P??0.692?
?????2.312/4??2.312/4?P{X???0.4}查表t分布的对称性????X??t(15)?1?2P??0.692????2.312/4?
?1?2?0.25?0.5.4在正态总体N(20,3)中抽取2个独立样本，样本均值分别为X,Y，又样本容量分别为10，15，则P{X?Y?0.3}?0.6774 注：X～N(20,33),Y～N(20,),X,Y独立。， 1015E(X?Y)?0,D(X?Y)?DX?DY?331?? 10152故P{X?Y?0.3}?P{X?Y12X?Y12?0.32}?P{X?Y12??0.32}
?2[1?P{?0.32}?2?(0.32)?0.67745在正态总体N(?,0.52)中抽取个独立样本X1,X2,?,X10,， （1）已知?102?0,求P{Xi?4};（2）?未知,求P{(Xi?X)2?2.85};
i?1i?1?10?解：（1）由99页定理1有
10X210Xi?0i服从N(0,1),??4?Xi2服从?2(10)，故：
20.5i?10.5i?1P{?Xi2?4}?P{4?Xi2?16}i?1i?11010查表?2(10)?100.1;
（2）104页定理3,10i?1?10(Xi?X)20.52?4?(Xi?X)服从?2(9)，故
i?1P{?(Xi?X)2?2.85}?P{4?(Xi?X)2?11.4}i?1i?110查?2(9)?0.25;
6设X1,X2,?,Xn为泊松分布P(?)的一个样本，X,S2为样本均值和样本方差，求
（1）(X1,X2,?,Xn)的分布律。（2）D(X),E(S2).
P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??P{X?xi}解：
nn???xii?1xi!e????i?1?xie?n?,(xi?0,1,2,?)ni?1
?xi!i?1nX1,?,Xn独立同分布P74:D(Xi)??1n1?D(X)?D(?Xi)?D(Xi)?.
ni?1nnn?1?2E(S)?E?(?Xi?nX????n?1i?1?nn?{D(Xi)?[E(Xi)]2}?{D(X)?[E(X)]2 n?1n?1nn??{???2}?{??2}??n?1n?1n27总体X～N(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，（1）求X1,X2,?,Xn的联合
概率密度。（2）求X的概率密度。
（1）??????e?2???1n?i?1?(xi??)22?2n（2）
12???ne2(??(x??)2n)2
8设X1,X2,?,Xn,Xn?1,?,Xn?m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n?m的样本，求下列统计量的抽样分布：
（1）Y?1n?mi?1?2?Xi2;m?Xi(2)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?m?Xi2(3)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?解（1）?2(n?m),
Xi2i?n?12n?m??服从?2(m),i?1服从N(0,1);n?m?Xini?1?Xin （2）
?Xin?(相当于N(0,1)n
2Y?ni?1n?m?Xi2i?n?1?nn?m)服从t(m);i?n?1?Xi2?(m)mm?2nm?Xi2(3)Y?ni?1n?mi?1?Xi2n?2;服从F(n,m).
?Xi2i?n?1?n?mi?n?1?Xi2m?2
补充：设X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，求变量样本均值X的数学期望与方差。
解：由于X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，故 1E(Xi)?n,D(Xi)?2n，E(X)?n1n?i?1nE(Xi)?1?n?n?n， nD(X)?D(Xi)?2?n?2n?2 2?nni?113设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的极大似然估计和矩估计，
解：先求极大似然估计：P{X?k}??kk!e??,k?0,1,?;L(?)??nn?xixi!i?1e??,
lnL(?)?(?i?1nxi)ln??n???i?1nln(xi!)，令
dlnL?0,?d??xii?1???x ?n?0????x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,??
习题六
1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,74.993,74.0067,74.002, 试求总体均值均值?及方差?2的矩估计， ??1?EX???x,?解：由P 令?12222??EX?DX?(EX)?????2?n??xi2i?1n
1??x?故?8?i?181xi?74.001375;??8?2?2?6?10?6 ?x12??i?182设总体X的概率分布为
kP{X?k}?C2(1??)k?2?k,K?0,1,2,?,n.X1,X2,?Xn是来自总体X个样本，
求参数?的矩估计量。
??解：E(X)?2p?X?P令X 2?3设总体X的概率密度为f(x)???x??1,0?x?1,X,X,?X是来自总体X12n?0,其它,个样本，x1,x2,?,xn是样本值，求参数?的矩估计量及矩估计值。 解：E(X)???1?令0xdx??11??1?X;?1???X. ??X?X?1,??(X)2X?1为?的矩估计 n2nL(?)????(x1?xn)??1;lnL?n2ln??(??1)?lnxi
i?1?lnLn1?n令??lnxi?0,????n2??2?2?i?1n.为最大似然估计
(?lnxi)2i?14X1,X2,?Xn是来自正态总体N(μ,1)的样本,求μ的最大似然估计。 nn解：L(?)??f(xi)?1e?12(xi??)2 i?1?i?12??1n2?1n(x?(2?)?e2?i?1i??)2,?lnL??nln(2?)?1?n(xi??)222?lnLni?1
???12[?xi?n?)?0,???n令?1i?1n?xi?x.i?15设总体X的概率分布为P{X?k}?p(1?p)k,0?P?1.k?1,2,3，X1,X2,?Xn是来自总体X个样本，求参数p的极大似然估计.
nnnL(P)?xi}?xxi?pn(1?P)i??1i;解：
?P{X??P(1?P)i?1ni?1
lnL?nlnP?(?xi)ln(1?P),i?1?lnL?n?1nx?0,?1?P?令?PP1?P?iX,i?1P为最大似然估计
P??1.(参考答案1X?1X)
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